Esboce as curvas \r \vec{r}_{1}(t)=(\cos t, \sin t, 0)\r e \r \vec{r}_{2}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r no mesmo sistema de eixos. Comente sobre suas diferenças geométricas.

Passo 1

O enunciado pede para representarmos no mesmo sistema de eixos as curvas \vec r_{1}(t)=(\cos t,\sin t,0) e \vec r_{2}(t)=(\cos t,\sin t,t), analisar sua forma e comentar as diferenças geométricas. O conteúdo aqui é estudo de curvas paramétricas em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Analisando \vec r_{1}(t):
– As componentes satisfazem \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 e z=0.
– Logo, o traço é o círculo de raio 1 no plano z=0, centrado na origem.
– Para t variando de 0 a 2\pi, percorremos esse círculo uma vez no sentido anti-horário visto do eixo z.

Passo 3

Analisando \vec r_{2}(t):
– As projeções em x e y ainda satisfazem \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, mas agora z=t.
– O resultado é um hélice circular de raio 1 em torno do eixo z, subindo com passo igual a 2\pi para cada volta (pois, quando t aumenta de 0 a 2\pi, z sobe de 0 a 2\pi).
– É uma curva não-fechada e não-planar, que avança indefinidamente em z.

Passo 4

Comparando as duas curvas:
\vec r_{1} é um círculo fechado contido no plano z=0.
\vec r_{2} é uma hélice aberta, com mesma projeção circular em xy, mas com componente z crescente.
– Geometricamente, \vec r_{1} tem período 2\pi e retorna ao ponto inicial, enquanto \vec r_{2} também é periódico em x,y mas não fecha porque z nunca retorna ao valor inicial.

Resposta

\vec r_{1}(t) é o círculo unitário no plano z=0. \vec r_{2}(t) é um hélice circular de raio 1 ao redor do eixo z, com subida linear em z.
A diferença geométrica fundamental é que a primeira é fechada e plana, e a segunda é aberta e não-planar.

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