Esboce as curvas \r
\r e \r
\r no mesmo sistema de eixos. Comente sobre suas diferenças geométricas.
Passo 1
O enunciado pede para representarmos no mesmo sistema de eixos as curvas
e
, analisar sua forma e comentar as diferenças geométricas. O conteúdo aqui é estudo de curvas paramétricas em
.
Passo 2
Analisando
:
– As componentes satisfazem e
.
– Logo, o traço é o círculo de raio no plano
, centrado na origem.
– Para variando de
a
, percorremos esse círculo uma vez no sentido anti-horário visto do eixo
.
– As componentes satisfazem
– Logo, o traço é o círculo de raio
– Para
Passo 3
Analisando
:
– As projeções em e
ainda satisfazem
, mas agora
.
– O resultado é um hélice circular de raio em torno do eixo
, subindo com passo igual a
para cada volta (pois, quando
aumenta de
a
,
sobe de
a
).
– É uma curva não-fechada e não-planar, que avança indefinidamente em .
– As projeções em
– O resultado é um hélice circular de raio
– É uma curva não-fechada e não-planar, que avança indefinidamente em
Passo 4
Comparando as duas curvas:
– é um círculo fechado contido no plano
.
– é uma hélice aberta, com mesma projeção circular em
, mas com componente
crescente.
– Geometricamente, tem período
e retorna ao ponto inicial, enquanto
também é periódico em
mas não fecha porque
nunca retorna ao valor inicial.
–
–
– Geometricamente,
Resposta
A diferença geométrica fundamental é que a primeira é fechada e plana, e a segunda é aberta e não-planar.