Verifique se a curva \r \vec{r}(t)=(\operatorname{cosh} t, \operatorname{sinh} t, t)\r possui vetor binormal de módulo constante. Passo 1O enunciado fornece a curva \vec{r}(t) = (\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t,\;t) e pergunta se o vetor binormal tem módulo constante. Vamos usar as definições — derivadas de \vec{r}(t), — produto vetorial \vec{r}'\times\vec{r}'', — e calcular \big\|\vec{r}'\times\vec{r}''\big\| para ver se é função de t ou constante. Passo 2Calcular a primeira derivada \vec{r}'(t) = \bigl(\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;1\bigr). Passo 3Calcular a segunda derivada \vec{r}''(t) = \bigl(\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t,\;0\bigr). Passo 4Formar o binormal não normalizado \vec{b}(t) = \vec{r}'(t)\times \vec{r}''(t). Usando (a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3) =(a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1), temos \vec{b}(t) =\bigl(-\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh}^2 t - \operatorname{cosh}^2 t\bigr) =\bigl(-\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;-\,\cosh2t\bigr). Passo 5Calcular o quadrado do módulo de \vec{b}(t): \|\vec{b}(t)\|^2 =\operatorname{sinh}^2 t + \operatorname{cosh}^2 t + \bigl(-\cosh2t\bigr)^2 =\bigl(\operatorname{sinh}^2 t + \operatorname{cosh}^2 t\bigr) + \operatorname{cosh}^2 2t =\cosh2t + \operatorname{cosh}^2 2t. Como \cosh2t + \operatorname{cosh}^2 2t depende de t, concluímos que \|\vec{b}(t)\| não é constante. RespostaA curva não possui vetor binormal (no sentido de \vec{r}'\times\vec{r}'') de módulo constante. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEsboce as curvas \r \vec{r}_{1}(t)=(\cos t, \sin t, 0)\r e \r \vec{r}_{2}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r no mesmo sistema de eixos. Comente sobre suas diferenças geométricas. Esboce as curvas \r \vec{r}_{1}(t)=(\cos t, \sin t, 0)\r e \r \vec{r}_{2}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r no mesmo sistema de eixos. Comente sobre suas diferenças geométricas. Uma partícula move-se segundo \r \vec{r}(t)=(\cos (2 t), \sin (2 t), 3 t)\r. Determine a velocidade e aceleração no instante \r t=\pi\r. Considere duas curvas: \r \vec{r}_{1}(t)=(\cos t, \sin t, 2 t)\r e \r \vec{r}_{2}(t)=(\cos t, \sin t, 3 t)\r. Ambas projetamse no plano \r x y\r como uma circunferência. Qual diferença principal há entre elas no espaço?