Verifique se a curva \r \vec{r}(t)=(\operatorname{cosh} t, \operatorname{sinh} t, t)\r possui vetor binormal de módulo constante.

Passo 1

O enunciado fornece a curva
\vec{r}(t) = (\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t,\;t)
e pergunta se o vetor binormal tem módulo constante. Vamos usar as definições
— derivadas de \vec{r}(t),
— produto vetorial \vec{r}'\times\vec{r}'',
— e calcular \big\|\vec{r}'\times\vec{r}''\big\| para ver se é função de t ou constante.

Passo 2

Calcular a primeira derivada
\vec{r}'(t) = \bigl(\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;1\bigr).

Passo 3

Calcular a segunda derivada
\vec{r}''(t) = \bigl(\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t,\;0\bigr).

Passo 4

Formar o binormal não normalizado
\vec{b}(t) = \vec{r}'(t)\times \vec{r}''(t).
Usando
(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3) =(a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1),
temos
\vec{b}(t) =\bigl(-\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh}^2 t - \operatorname{cosh}^2 t\bigr) =\bigl(-\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;-\,\cosh2t\bigr).

Passo 5

Calcular o quadrado do módulo de \vec{b}(t):
\|\vec{b}(t)\|^2 =\operatorname{sinh}^2 t + \operatorname{cosh}^2 t + \bigl(-\cosh2t\bigr)^2 =\bigl(\operatorname{sinh}^2 t + \operatorname{cosh}^2 t\bigr) + \operatorname{cosh}^2 2t =\cosh2t + \operatorname{cosh}^2 2t.
Como \cosh2t + \operatorname{cosh}^2 2t depende de t, concluímos que \|\vec{b}(t)\| não é constante.

Resposta

A curva não possui vetor binormal (no sentido de \vec{r}'\times\vec{r}'') de módulo constante.

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