Esboce e determine a área da região delimitada pelos traçados das curvas y=x^2 e y=2 x.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar e calcular a área da região que fica entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e lineares, além de um pouquinho de cálculo com integrais para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação $ x^{2} = 2x $. Para isso, vamos rearranjar a equação:
x^2 = 2x
Agora, fatoramos:
x^2 - 2x = 0
Assim, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Esses são os pontos onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos saber qual delas está por cima e qual está por baixo entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Vamos escolher um valor entre 0 e 2, por exemplo, $ x = 1 $:
Para $ y = x^{2} $:
x = 0
Para $ y = 2x $:
x = 2
Vemos que $ 2x $ está acima de $ x^{2} $ nesse intervalo.

Passo 4

Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral da diferença das funções de cima menos a de baixo, de $ x = 0 $ a $ x = 2 $:
x = 0 Á
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, encontramos a antiderivada de $ 2x - x^{2} $:
2x - x^2
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 2:
integral (2x - x^2) , dx = x^2 - x^33 + C

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{4}{3} $.

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