Esboce e determine a área da região delimitada pelos traçados das curvas y=x^2-2 x e y=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa esboçar e encontrar a área da região delimitada pelas curvas $ y = x^{2} - 2x $ e $ y = 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente integração, para calcular a área entre essas duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se cruzam. Isso significa que vamos igualar as duas equações para encontrar os valores de $ x $ que satisfazem ambas:
x

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
x^2 - 2x - 3 = 0
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
x = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, temos duas soluções:
x = 3 e x = -1

Passo 4

Com os pontos de interseção $ x = -1 $ e $ x = 3 $ em mãos, vamos esboçar as duas curvas para visualizar melhor a área que queremos calcular. A parábola $ y = x^{2} - 2x $ abre para cima, e a reta $ y = 3 $ é uma linha horizontal que corta a parábola nesses dois pontos.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, precisamos integrar a diferença entre as funções no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 3 $. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
x = -1 Á
Aqui, $ f(x) = 3 $ (a reta) e $ g(x) = x^{2} - 2x $ (a parábola).

Passo 6

Vamos montar a integral com as funções que identificamos:
Área = integral-1^3 [3 - (x^2 - 2x)] , dx Á
Simplificando dentro da integral:
3 - x^2 + 2x = -x^2 + 2x + 3
Então, a integral fica:
Área = integral-1^3 (-x^2 + 2x + 3) , dx Á

Passo 7

Agora, vamos calcular essa integral. A antiderivada de cada termo é:
integral (-x^2) , dx = -x^33
integral 2x , dx = x^2
integral 3 , dx = 3x
Juntando tudo:
-x^33 + x^2 + 3x

Passo 8

Avaliamos a antiderivada nos limites de $ x = -1 $ a $ x = 3 $:
Para $ x = 3 $:
x = -1
Para $ x = -1 $:
x = 3
Agora, subtraímos os valores:
x = 3

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas $ y = x^{2} - 2x $ e $ y = 3 $ é $ \frac{32}{3} $ unidades de área.

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