Esboce e determine a área da região delimitada pelos traçados das curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa esboçar e encontrar a área da região delimitada pelas curvas $ y = x^{2} - 2x $ e $ y = 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente integração, para calcular a área entre essas duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se cruzam. Isso significa que vamos igualar as duas equações para encontrar os valores de $ x $ que satisfazem ambas:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os pontos de interseção $ x = -1 $ e $ x = 3 $ em mãos, vamos esboçar as duas curvas para visualizar melhor a área que queremos calcular. A parábola $ y = x^{2} - 2x $ abre para cima, e a reta $ y = 3 $ é uma linha horizontal que corta a parábola nesses dois pontos.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, precisamos integrar a diferença entre as funções no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 3 $. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
Aqui, $ f(x) = 3 $ (a reta) e $ g(x) = x^{2} - 2x $ (a parábola).
Passo 6
Vamos montar a integral com as funções que identificamos:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular essa integral. A antiderivada de cada termo é:
Juntando tudo:
Passo 8
Avaliamos a antiderivada nos limites de $ x = -1 $ a $ x = 3 $:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -1 $:
Agora, subtraímos os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas $ y = x^{2} - 2x $ e $ y = 3 $ é $ \frac{32}{3} $ unidades de área.