Seja . Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

Passo 1

Vamos dar uma resumida: o problema dá o vetor de posição r(t)=e^t,i+raiz2,t,j+e^-t,k e pede para achar as componentes tangencial e normal da aceleração. O conteúdo aqui é a decomposição de a(t) em parte tangencial e parte normal.
A teoria que vamos usar é: dado r(t), definimos a velocidade v=r'(t) e a aceleração a=r''(t). A aceleração se decompõe como a=at,T+an,N, onde
at=vcdota|v|=ddtl|vr|e an=raiz|a|^2-at^2

Passo 2

Vamos então calcular v(t)=r'(t) e a(t)=r''(t).
A derivada de e^t é e^t, de raiz2,t é raiz2 e de e^-t é -e^-t. Logo
v(t)=e^t,i+raiz2,j-e^-t,k,

Passo 3

e derivando de novo:
a(t)=e^t,i+0,j+e^-t,k

Passo 4

Agora o módulo da velocidade é
[|\mathbf{v}|=\sqrt{(et)2+(\sqrt{2})2+(-e{-t})2}=\sqrt{e{2t}+2+e{-2t}}=et+e^{-t}.

Passo 5

Para obter at podemos usar at=tfracvcdota|v|. Calculando o produto escalar:
vcdota=e^tcdot e^t+raiz2cdot0+(-e^-t)cdot e^-t=e^2t-e^-2t

Passo 6

Dividindo por |v|=e^t+e^-t
at=e^2t-e^-2te^t+e^-t=e^t-e^-t

Passo 7

Finalmente, o componente normal é
an=raiz|a|^2-at^2

Passo 8

Como |a|^2=(e^t)^2+(e^-t)^2=e^2t+e^-2t e at^2=(e^t-e^-t)^2=e^2t-2+e^-2t,
an=raiz(e^2t+e^-2t)-l(e^2t-2+e^-2tr)=raiz2

Resposta

As componentes tangencial e normal da aceleração são, respectivamente, at=e^t-e^-t e an=raiz2.

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