Esboce o Diagrama de Bode de
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o Diagrama de Bode de
.
Informações dadas e pontos importantes que vou usar:
Informações dadas e pontos importantes que vou usar:
- A função de transferência é
. - Há um sinal negativo multiplicando a função (isso afeta a fase).
- Numerador:
→ zero em (frequência de canto rad/s). - Denominador:
→ polo em (frequência de canto rad/s). - Constante de ganho combinada:
(fator e sinal negativo). - O que preciso desenhar: o módulo em dB (
) e a fase (em graus) em função de (escala logarítmica).
Passo 2
Vou escrever fórmulas úteis (explicando cada termo) para poder calcular pontos e entender os asíntotas.
- Fórmula do módulo:
. - Aqui
é o ganho constante (valor absoluto do fator numérico), vem de (zero em ) e vem de (polo em ).
- Aqui
- Em dB:
-
(esses são o offset constante da expressão).
-
- Fórmula da fase (em graus): cada termo contribui com um ângulo:
- Explicação: o
vem do sinal negativo (fator ), o termo é a contribuição do zero em (soma de fase), e é a contribuição do polo em (subtrai fase).
- Explicação: o
Passo 3
Análise qualitativa (asíntotas) que me guia no esboço:
- Frequências de canto:
rad/s (polo), rad/s (zero). - Regras de Bode para magnitude:
- Cada polo simples introduz uma inclinação de
começando na sua frequência de canto. - Cada zero simples introduz uma inclinação de
começando na sua frequência de canto. - O fator constante
dá um deslocamento de em toda curva (se olharmos a expressão assintótica em alta frequência).
- Cada polo simples introduz uma inclinação de
- Combinando: para
nenhum polo/zero age ainda → inclinação (plano). - Entre
e : o polo em aplica → a curva decresce com . - Para
: o zero em acrescenta , cancelando a inclinação do polo → inclinação volta para e a curva aproxima um nível constante (assintótico) igual a .
- Entre
- Portanto a forma assintótica da magnitude é: 0 dB (baixo) → decaimento
dB/dec entre e → nível constante em dB para .
Passo 4
Cálculo de pontos numéricos úteis (vou calcular
em algumas frequências-padrão para guiar o esboço; mostro passo a passo):
Usarei a fórmula e depois convertendo para dB por
.
Usarei a fórmula
-
rad/s:
-
rad/s (frequência do polo):
(portanto a quebra no polo aparece com deslocamento ≈
no ponto de canto)
-
rad/s:
-
rad/s (frequência do zero):
-
rad/s:
Resumo numérico para magnitude (valores para marcar no esboço):
-
(≈ 0 dB) -
-
-
-
(≈ assintótico)
Passo 5
Como desenhar o gráfico de magnitude (instruções passo a passo para esboçar):
- Faça eixos: eixo horizontal logaritmo em
(marque décadas por exemplo ), eixo vertical em dB. - Marque os pontos calculados do Passo 4 e as frequências de canto
e . - Trace a assíntota da magnitude:
- Para
desenhe linha quase horizontal em (os pontos mostram ~ dB em ). - A partir de
aplique inclinação (a assíntota atinge aproximadamente dB em e dB em ). - A partir de
a inclinação volta a , aproximando-se do valor assintótico de .
- Para
- Ajuste o traço real: nos cantos a curva real “arredonda” (não muda de inclinação instantaneamente). Use os pontos exatos calculados para corrigir: em
o valor é dB, em é dB, em é dB. - Resultado visual esperado: nível ~
dB em baixas frequências, decaimento até ~ dB na faixa intermediária-alta, ficando constante em ~ dB para .
Passo 6
Cálculo e interpretação da fase (mostrando como obter e interpretar passo a passo):
- Use a fórmula
- O
é o efeito do sinal negativo: portanto mesmo em a fase começa em (não em ). - O polo em
começa a introduzir até (ao aumentar ), e o zero em introduz até . Essas mudanças acontecem gradualmente ao longo de duas décadas centradas em cada canto (regra prática de Bode).
- O
- Cálculo numérico em pontos (para marcar o esboço):
-
- Interpretação: a fase começa perto de
em baixas frequências, desce até aproximadamente em torno de rad/s (região entre os cantos, onde o polo já “mexeu” bastante e o zero ainda não compensou) e retorna para cerca de para muito altas. Em Bode costuma-se mostrar a fase “desembrulhada” (unwrapped) com esse mergulho até aproximadamente .
Passo 7
Como desenhar o gráfico de fase (instruções para o esboço):
- Faça um eixo vertical em graus (por exemplo marcar
) e o eixo horizontal logaritmo em (mesmas décadas usadas na magnitude). - Marque os pontos calculados do Passo 6.
- Assíntotas práticas (regra de 2 décadas por polo/zero):
- O polo em
começa a agir aproximadamente a partir de e completa sua contribuição por volta de , com uma rampa aproximada linear em escala log entre esses limites. - O zero em
começa a agir aproximadamente a partir de e completa seus por volta de . - Somando essas rampas com o
inicial dá o mergulho para ~ em torno de e recuo para em altas frequências.
- O polo em
- Trace a curva suave passando pelos pontos exatos e seguindo as rampas assintóticas entre as décadas.
Passo 8
Dicas finais para o esboço e verificação:
- Marque claramente
e no eixo log (centrais para as mudanças). - Use os valores calculados (
em baixa frequência, em , em , em , assíntoto a em altas freqüências) para tornar o esboço preciso. - Para a fase, marque os valores em
e desenhe a curva suave que faz o mergulho até cerca de e volta para . - Lembre-se: o sinal negativo da função garante que a fase base já começa em
.
Resposta
Magnitude (esboço assintótico): para
nível ~
; entre
e
inclinação
(valores:
); para
aproxima-se do nível assintótico
(ex.:
).
Fase (esboço): ; numericamente
. (Use esses pontos + asíntotas descritas para traçar o Diagrama de Bode.)
Fase (esboço):