Esboce o Diagrama de Bode de
G(s)=-\frac{0,1 s+1}{10 s+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o Diagrama de Bode de G(s)=-\dfrac{0,1s+1}{10s+1}.
Informações dadas e pontos importantes que vou usar:
  • A função de transferência é G(s)=-\dfrac{0,1s+1}{10s+1}.
  • Há um sinal negativo multiplicando a função (isso afeta a fase).
  • Numerador: 0,1s+1=0{,}1(s+10) → zero em s=-10 (frequência de canto \omega_z=10 rad/s).
  • Denominador: 10s+1=10(s+0{,}1) → polo em s=-0{,}1 (frequência de canto \omega_p=0{,}1 rad/s).
  • Constante de ganho combinada: G(s)=-0{,}01\cdot\dfrac{s+10}{s+0{,}1} (fator 0{,}01 e sinal negativo).
  • O que preciso desenhar: o módulo em dB ( 20\log_{10}|G(j\omega)|) e a fase (em graus) em função de \omega (escala logarítmica).

Passo 2

Vou escrever fórmulas úteis (explicando cada termo) para poder calcular pontos e entender os asíntotas.
  • Fórmula do módulo: |G(j\omega)|=0{,}01\cdot\sqrt{\dfrac{\omega^{2}+10^{2}}{\omega^{2}+0{,}1^{2}}}.
    • Aqui 0{,}01 é o ganho constante (valor absoluto do fator numérico), \sqrt{\omega^{2}+10^{2}} vem de |j\omega+10| (zero em -10) e \sqrt{\omega^{2}+0{,}1^{2}} vem de |j\omega+0{,}1| (polo em -0{,}1).
  • Em dB: 20\log_{10}|G(j\omega)|=20\log_{10}(0{,}01)+10\log_{10}\!\left(\dfrac{\omega^{2}+10^{2}}{\omega^{2}+0{,}1^{2}}\right).
    • 20\log_{10}(0{,}01)=-40\\ \text{dB} (esses -40\\ \text{dB} são o offset constante da expressão).
  • Fórmula da fase (em graus): cada termo contribui com um ângulo: \angle G(j\omega) = -180^\circ + \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right) - \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{0{,}1}\right).
    • Explicação: o -180^\circ vem do sinal negativo (fator -1), o termo \arctan(\omega/10) é a contribuição do zero em -10 (soma de fase), e -\arctan(\omega/0{,}1) é a contribuição do polo em -0{,}1 (subtrai fase).

Passo 3

Análise qualitativa (asíntotas) que me guia no esboço:
  • Frequências de canto: \omega_p=0{,}1 rad/s (polo), \omega_z=10 rad/s (zero).
  • Regras de Bode para magnitude:
    • Cada polo simples introduz uma inclinação de -20\\ \text{dB/dec} começando na sua frequência de canto.
    • Cada zero simples introduz uma inclinação de +20\\ \text{dB/dec} começando na sua frequência de canto.
    • O fator constante 0{,}01 dá um deslocamento de -40\\ \text{dB} em toda curva (se olharmos a expressão assintótica em alta frequência).
  • Combinando: para \omega<0{,}1 nenhum polo/zero age ainda → inclinação 0\\ \text{dB/dec} (plano).
    • Entre 0{,}1 e 10: o polo em 0{,}1 aplica -20\\ \text{dB/dec} → a curva decresce com -20\\ \text{dB/dec}.
    • Para \omega>10: o zero em 10 acrescenta +20\\ \text{dB/dec}, cancelando a inclinação do polo → inclinação volta para 0\\ \text{dB/dec} e a curva aproxima um nível constante (assintótico) igual a 20\log_{10}(0{,}01)=-40\\ \text{dB}.
  • Portanto a forma assintótica da magnitude é: 0 dB (baixo) → decaimento -20 dB/dec entre 0{,}1 e 10 → nível constante em -40 dB para \omega\gg 10.

Passo 4

Cálculo de pontos numéricos úteis (vou calcular |G(j\omega)| em algumas frequências-padrão para guiar o esboço; mostro passo a passo):
Usarei a fórmula |G(j\omega)|=0{,}01\sqrt{\dfrac{\omega^{2}+100}{\omega^{2}+0{,}01}} e depois convertendo para dB por 20\log_{10}(\cdot).
  • \omega=0{,}01 rad/s: |G(j0{,}01)|=0{,}01\sqrt{\dfrac{0{,}01^{2}+100}{0{,}01^{2}+0{,}01}} \approx 0{,}01\sqrt{\dfrac{100{,}0001}{0{,}0101}}\approx 0{,}995,
20\log_{10}(0{,}995)\approx -0{,}04\\ \text{dB}.
  • \omega=0{,}1 rad/s (frequência do polo): |G(j0{,}1)|=0{,}01\sqrt{\dfrac{0{,}1^{2}+100}{0{,}1^{2}+0{,}01}}=0{,}01\sqrt{\dfrac{100{,}01}{0{,}02}}\approx0{,}7071,
20\log_{10}(0{,}7071)\approx -3{,}01\\ \text{dB}.
(portanto a quebra no polo aparece com deslocamento ≈ -3\\ \text{dB} no ponto de canto)
  • \omega=1 rad/s: |G(j1)|=0{,}01\sqrt{\dfrac{1+100}{1+0{,}01}}=0{,}01\sqrt{\dfrac{101}{1{,}01}}\approx0{,}09995,
20\log_{10}(0{,}09995)\approx -20{,}00\\ \text{dB}.
  • \omega=10 rad/s (frequência do zero): |G(j10)|=0{,}01\sqrt{\dfrac{100+100}{100+0{,}01}}=0{,}01\sqrt{\dfrac{200}{100{,}01}}\approx0{,}01414,
20\log_{10}(0{,}01414)\approx -36{,}99\\ \text{dB}.
  • \omega=100 rad/s: |G(j100)|\approx0{,}01\sqrt{\dfrac{10000+100}{10000+0{,}01}}\approx0{,}01005,
20\log_{10}(0{,}01005)\approx -39{,}95\\ \text{dB}\\ (\text{aproxima }-40\\ \text{dB}).
Resumo numérico para magnitude (valores para marcar no esboço):
  • \omega=0{,}01:\\\ -0{,}04\\ \text{dB} (≈ 0 dB)
  • \omega=0{,}1:\\\ -3{,}01\\ \text{dB}
  • \omega=1:\\\ -20{,}00\\ \text{dB}
  • \omega=10:\\\ -36{,}99\\ \text{dB}
  • \omega=100:\\\ -39{,}95\\ \text{dB} (≈ -40\\ \text{dB} assintótico)

Passo 5

Como desenhar o gráfico de magnitude (instruções passo a passo para esboçar):
  1. Faça eixos: eixo horizontal logaritmo em \omega (marque décadas por exemplo 0{,}01,\;0{,}1,\;1,\;10,\;100), eixo vertical em dB.
  2. Marque os pontos calculados do Passo 4 e as frequências de canto \omega_p=0{,}1 e \omega_z=10.
  3. Trace a assíntota da magnitude:
    • Para \omega<0{,}1 desenhe linha quase horizontal em 0\\ \text{dB} (os pontos mostram ~ -0{,}04 dB em 0{,}01).
    • A partir de \omega=0{,}1 aplique inclinação -20\\ \text{dB/dec} (a assíntota atinge aproximadamente -20 dB em \omega=1 e -40 dB em \omega=10).
    • A partir de \omega=10 a inclinação volta a 0\\ \text{dB/dec}, aproximando-se do valor assintótico de -40\\ \text{dB}.
  4. Ajuste o traço real: nos cantos a curva real “arredonda” (não muda de inclinação instantaneamente). Use os pontos exatos calculados para corrigir: em \omega=0{,}1 o valor é -3 dB, em \omega=1 é -20 dB, em \omega=10 é -37 dB.
  5. Resultado visual esperado: nível ~ 0 dB em baixas frequências, decaimento até ~ -40 dB na faixa intermediária-alta, ficando constante em ~ -40 dB para \omega\gg10.

Passo 6

Cálculo e interpretação da fase (mostrando como obter e interpretar passo a passo):
  • Use a fórmula \angle G(j\omega) = -180^\circ + \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right) - \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{0{,}1}\right).
    • O -180^\circ é o efeito do sinal negativo: portanto mesmo em \omega\to0 a fase começa em -180^\circ (não em 0^\circ).
    • O polo em 0{,}1 começa a introduzir até -90^\circ (ao aumentar \omega), e o zero em 10 introduz até +90^\circ. Essas mudanças acontecem gradualmente ao longo de duas décadas centradas em cada canto (regra prática de Bode).
  • Cálculo numérico em pontos (para marcar o esboço):
    • \omega=0{,}01:\\ \angle G\approx -180^\circ +0{,}057^\circ -5{,}711^\circ \approx -185{,}65^\circ.
    • \omega=0{,}1:\\ \angle G\approx -180^\circ +0{,}573^\circ -45^\circ \approx -224{,}43^\circ.
    • \omega=1:\\ \angle G\approx -180^\circ +5{,}711^\circ -84{,}289^\circ \approx -258{,}58^\circ.
    • \omega=10:\\ \angle G\approx -180^\circ +45^\circ -89{,}427^\circ \approx -224{,}43^\circ.
    • \omega=100:\\ \angle G\approx -180^\circ +84{,}289^\circ -89{,}943^\circ \approx -185{,}65^\circ.
  • Interpretação: a fase começa perto de -180^\circ em baixas frequências, desce até aproximadamente -259^\circ em torno de \omega\approx 1 rad/s (região entre os cantos, onde o polo já “mexeu” bastante e o zero ainda não compensou) e retorna para cerca de -180^\circ para \omega muito altas. Em Bode costuma-se mostrar a fase “desembrulhada” (unwrapped) com esse mergulho até aproximadamente -260^\circ.

Passo 7

Como desenhar o gráfico de fase (instruções para o esboço):
  1. Faça um eixo vertical em graus (por exemplo marcar -180^\circ,\\\ -225^\circ,\\\ -270^\circ) e o eixo horizontal logaritmo em \omega (mesmas décadas usadas na magnitude).
  2. Marque os pontos calculados do Passo 6.
  3. Assíntotas práticas (regra de 2 décadas por polo/zero):
    • O polo em \omega_p=0{,}1 começa a agir aproximadamente a partir de \omega=0{,}01 e completa sua contribuição -90^\circ por volta de \omega=1, com uma rampa aproximada linear em escala log entre esses limites.
    • O zero em \omega_z=10 começa a agir aproximadamente a partir de \omega=1 e completa seus +90^\circ por volta de \omega=100.
    • Somando essas rampas com o -180^\circ inicial dá o mergulho para ~ -260^\circ em torno de \omega\sim1 e recuo para -180^\circ em altas frequências.
  4. Trace a curva suave passando pelos pontos exatos e seguindo as rampas assintóticas entre as décadas.

Passo 8

Dicas finais para o esboço e verificação:
  • Marque claramente \omega_p=0{,}1 e \omega_z=10 no eixo log (centrais para as mudanças).
  • Use os valores calculados ( 0\\ \text{dB} em baixa frequência, -3\\ \text{dB} em \omega=0{,}1, -20\\ \text{dB} em \omega=1, -37\\ \text{dB} em \omega=10, assíntoto a -40\\ \text{dB} em altas freqüências) para tornar o esboço preciso.
  • Para a fase, marque os valores em \omega=0{,}01,\\\ 0{,}1,\\\ 1,\\\ 10,\\\ 100 e desenhe a curva suave que faz o mergulho até cerca de -259^\circ e volta para -180^\circ.
  • Lembre-se: o sinal negativo da função garante que a fase base já começa em -180^\circ.

Resposta

Magnitude (esboço assintótico): para \omega<0{,}1 nível ~ 0\\ \text{dB}; entre \omega=0{,}1 e \omega=10 inclinação -20\\ \text{dB/dec} (valores: \omega=0{,}1\Rightarrow -3{,}01\\ \text{dB},\\ \omega=1\Rightarrow -20{,}00\\ \text{dB}); para \omega\gg10 aproxima-se do nível assintótico -40\\ \text{dB} (ex.: \omega=10\Rightarrow -36{,}99\\ \text{dB},\\ \omega=100\Rightarrow -39{,}95\\ \text{dB}).
Fase (esboço): \angle G(j\omega)=-180^\circ+\arctan(\omega/10)-\arctan(\omega/0{,}1); numericamente \omega=0{,}01\Rightarrow -185{,}65^\circ,\\ \omega=0{,}1\Rightarrow -224{,}43^\circ,\\ \omega=1\Rightarrow -258{,}58^\circ,\\ \omega=10\Rightarrow -224{,}43^\circ,\\ \omega=100\Rightarrow -185{,}65^\circ. (Use esses pontos + asíntotas descritas para traçar o Diagrama de Bode.)

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