Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
G(s)=\frac{100000}{(s+1)(s+10)(s+100)}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema
G(s)=\frac{100000}{(s+1)(s+10)(s+100)}.
Informações dadas:
\text{pólos em } s=-1,\; s=-10,\; s=-100,ó
ganho multiplicativo 100000. O objetivo é desenhar (esboçar) as curvas de magnitude (em dB) e de fase (em graus) em função da frequência \omega (com escala logarítmica).

Passo 2

Converter s para j\omega e escrever as expressões de magnitude e fase que usarei:
G(j\omega)=\frac{100000}{(j\omega+1)(j\omega+10)(j\omega+100)}.
Magnitude:
|G(j\omega)|=\frac{100000}{\sqrt{(\omega^2+1^2)(\omega^2+10^2)(\omega^2+100^2)}}.
Magnitude em dB:
20\log_{10}|G(j\omega)|.
Fase:
\angle G(j\omega)=-\big(\arctan\!\frac{\omega}{1}+\arctan\!\frac{\omega}{10}+\arctan\!\frac{\omega}{100}\big),
em graus (converter \arctan para graus quando for plotar). Vou usar tanto as assíntotas padrão de Bode (fáceis de desenhar sem calculadora) quanto alguns pontos exatos para ancorar o esboço.

Passo 3

Calcular o ganho em regime DC ( \omega=0) — isso dá o nível inicial da assíntota de magnitude:
G(0)=\frac{100000}{(1)(10)(100)}=\frac{100000}{1000}=100.
Em dB:
20\log_{10}(100)=20\cdot 2=40\\ \text{dB}.
Então a assíntota de baixa frequência começa em 40\\ \text{dB}.

Passo 4

Construir as assíntotas da magnitude (regra prática):
  • Cada polo de primeira ordem contribui com uma inclinação de -20\\ \text{dB/dec} que começa aproximadamente em sua frequência de canto.
  • As frequências de canto (pontos onde as inclinações mudam) são \omega=1,\;10,\;100 (rad/s).
Portanto as inclinações por faixa são:
  • Para \omega<1: inclinação 0\\ \text{dB/dec} (nível = 40\\ \text{dB}).
  • Entre 1 e 10: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
  • Entre 10 e 100: inclinação -40\\ \text{dB/dec}.
  • Para \omega>100: inclinação -60\\ \text{dB/dec}.
Posições das assíntotas em pontos chave (assíntota simples, sem correção dos -3 dB):
  • Em \omega=1: assíntota dá 40\\ \text{dB}.
  • Em \omega=10: uma década acima de 1 com -20\\ \text{dB/dec} 40-20=20\\ \text{dB}.
  • Em \omega=100: duas décadas acima de 1 com -40\\ \text{dB} 40-40=-0\\ \text{dB}. (Mas veja correções abaixo.)

Passo 5

Calcular alguns valores reais (não só assíntotas) para ancorar o esboço nos cantos — isto ajuda a desenhar o “arredondamento” das curvas:
Fórmula usada:
|G(j\omega)|=\frac{100000}{\sqrt{(\omega^2+1)(\omega^2+100)(\omega^2+10000)}}.
Cálculos (aproximações feitas com contas manuais razoáveis):
  • Em \omega=0{,}1:
|G(j0{,}1)|\approx 99{,}5\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|G(j0{,}1)|\approx 39{,}94\\ \text{dB}.
  • Em \omega=1:
|G(j1)|\approx 70{,}36\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|G(j1)|\approx 36{,}94\\ \text{dB}
(aproximadamente 40-3{,}06\\ \text{dB} como esperado pelo efeito do polo em \omega=1).
  • Em \omega=10:
|G(j10)|\approx 7{,}00\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|G(j10)|\approx 16{,}90\\ \text{dB}
(assíntota daria 20\\ \text{dB}; o valor real fica \approx 3{,}1\\ \text{dB} abaixo por efeito do polo em \omega=10).
  • Em \omega=100:
|G(j100)|\approx 0{,}07036\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|G(j100)|\approx -23{,}05\\ \text{dB}
(assíntota daria -20\\ \text{dB}; o valor real fica \approx -3{,}05\\ \text{dB} abaixo por efeito do polo em \omega=100).
  • Em \omega=1000 (uma década acima de 100), pela assíntota final:
\text{nível assintótico em }1000 \approx -80\\ \text{dB}\quad(\text{pois de }40\\ \text{dB}\text{ até }1000\text{ são }3\\ \text{decadas};\\\ 40-3\cdot 60=-140\text{ dB}? \text{ Atenção: calc. por trechos: }40\to1:0,\\\ 1\to10:-20,\\\ 10\to100:-40,\\\ 100\to1000:-60\Rightarrow\\\ 40-60-40-20=-80\\ \text{dB}).íóéãçã
(Resumo prático: após 100 a inclinação é -60\\ \text{dB/dec}, então de 100 a 1000 desce mais 60\\ \text{dB} a partir do nível assintótico em 100.)
Esses pontos permitem desenhar a curva real aproximada: comece em 40\\ \text{dB}, caia em torno de \omega=1, mantenha inclinação -20\\ \text{dB/dec} até perto de \omega=10, etc., fazendo os arredondamentos próximos de cada canto (cada canto “puxa” a curva ~ -3\\ \text{dB} em seu próprio \omega).

Passo 6

Construir a assíntota da fase e calcular pontos de referência:
Regra prática para cada polo de primeira ordem:
  • A contribuição de fase vai de 0^\circ (em \omega\ll\omega_p) a -90^\circ (em \omega\gg\omega_p).
  • A transição ocorre aproximadamente de uma década abaixo até uma década acima do polo, com -45^\circ aproximadamente em \omega=\omega_p.
Somando as três contribuições obtemos a fase total:
\angle G(j\omega)=-\Big(\arctan\frac{\omega}{1}+\arctan\frac{\omega}{10}+\arctan\frac{\omega}{100}\Big).
Valores numéricos úteis (em graus, soma das três arctan):
  • \omega=0{,}1:
\angle G(j0{,}1)\approx -6{,}34^\circ.
  • \omega=1:
\angle G(j1)\approx -51{,}3^\circ\quad(\text{aprox. }-45^\circ\\ \text{do polo }1\\ \text{mais pequenos termos}).
  • \omega=10:
\angle G(j10)\approx -135^\circ\quad(\text{cerca de }-90^\circ\\ \text{do polo }1\\ \text{mais }-45^\circ\\ \text{do polo }10).
  • \omega=100:
\angle G(j100)\approx -218{,}7^\circ\quad(\text{já com contribuição significativa do polo }100).áçã
  • \omega=1000:
\angle G(j1000)\approx -263{,}7^\circ\quad(\text{tende a }-270^\circ \text{ em } \omega\gg 100).
Para desenhar: trace três rampas de fase, cada uma estendendo-se de uma década abaixo a uma década acima do polo; some-as para obter a rampa total. Resultado qualitativo: fase começa próxima de 0^\circ, cruza \approx -45^\circ em \omega=1, passa por \approx-135^\circ em \omega=10, passa por \approx-225^\circ em \omega=100 e tende a -270^\circ para \omega\to\infty.

Passo 7

Instruções práticas para esboçar (passo-a-passo gráfico que você pode reproduzir à mão rápido na prova):
  1. No eixo horizontal marque as décadas \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;100,\;1000.
  2. No diagrama de magnitude:
    • Em \omega=0{,}1 comece em \approx 39{,}9\\ \text{dB} e até \omega=1 mantenha ~ 40\\ \text{dB}.
    • A partir de \omega=1 desenhe uma linha com inclinação -20\\ \text{dB/dec} até \omega=10. Em \omega=1 lembre-se que o ponto real é \approx 36{,}9\\ \text{dB} (arredondamento do canto).
    • A partir de \omega=10 a inclinação passa a -40\\ \text{dB/dec} até \omega=100; em \omega=10 o ponto real é \approx 16{,}9\\ \text{dB}.
    • A partir de \omega=100 a inclinação passa a -60\\ \text{dB/dec}; em \omega=100 o ponto real é \approx -23{,}05\\ \text{dB}.
    • Faça os arredondamentos suaves nas regiões \omega\in[0{,}1\omega_p,10\omega_p] para cada polo.
  3. No diagrama de fase:
    • Some as três contribuições com transições centradas em \omega=1,10,100.
    • Use os pontos calculados para marcar: cerca de -6{,}3^\circ em \omega=0{,}1, -51{,}3^\circ em \omega=1, -135^\circ em \omega=10, -218{,}7^\circ em \omega=100, e aproximando-se de -270^\circ em \omega=1000.
  4. Pronto — esse esboço (assíntotas + pontos reais) é a resposta que normalmente se pede em prova. Respire fundo: está feito!

Resposta

Magnitude (assíntotas e pontos-chave):
  • Nível DC: G(0)=100\Rightarrow 20\log_{10}100=40\\ \text{dB}.
  • Assíntotas de inclinação: 0\\ \text{dB/dec} para \omega<1; -20\\ \text{dB/dec} para 1<\omega<10; -40\\ \text{dB/dec} para 10<\omega<100; -60\\ \text{dB/dec} para \omega>100.
  • Valores reais aproximados: \omega=0{,}1:\\\ 39{,}94\\ \text{dB};\\ \omega=1:\\\ 36{,}94\\ \text{dB};\\ \omega=10:\\\ 16{,}90\\ \text{dB};\\ \omega=100:\\\ -23{,}05\\ \text{dB}.
Fase (assíntotas e pontos-chave):
  • \angle G(j\omega)=-\big(\arctan\frac{\omega}{1}+\arctan\frac{\omega}{10}+\arctan\frac{\omega}{100}\big).
  • Transições de fase centradas em \omega=1,10,100 (cada polo: 0^\circ\to-90^\circ de uma década abaixo até uma década acima).
  • Valores reais aproximados: \omega=0{,}1:\\\ -6{,}3^\circ;\\ \omega=1:\\\ -51{,}3^\circ;\\ \omega=10:\\\ -135^\circ;\\ \omega=100:\\\ -218{,}7^\circ;\\ \omega=1000:\\\ -263{,}7^\circ (tendendo a -270^\circ para \omega\to\infty).

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