Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema
Informações dadas:
ganho multiplicativo
. O objetivo é desenhar (esboçar) as curvas de magnitude (em dB) e de fase (em graus) em função da frequência
(com escala logarítmica).
Passo 2
Converter
para
e escrever as expressões de magnitude e fase que usarei:
Magnitude:
Magnitude em dB:
Fase:
em graus (converter
para graus quando for plotar). Vou usar tanto as assíntotas padrão de Bode (fáceis de desenhar sem calculadora) quanto alguns pontos exatos para ancorar o esboço.
Passo 3
Calcular o ganho em regime DC (
) — isso dá o nível inicial da assíntota de magnitude:
Em dB:
Então a assíntota de baixa frequência começa em
.
Passo 4
Construir as assíntotas da magnitude (regra prática):
- Cada polo de primeira ordem contribui com uma inclinação de
que começa aproximadamente em sua frequência de canto. - As frequências de canto (pontos onde as inclinações mudam) são
(rad/s).
Portanto as inclinações por faixa são:
- Para
: inclinação (nível = ). - Entre
e : inclinação . - Entre
e : inclinação . - Para
: inclinação .
Posições das assíntotas em pontos chave (assíntota simples, sem correção dos -3 dB):
- Em
: assíntota dá . - Em
: uma década acima de com → . - Em
: duas décadas acima de com → . (Mas veja correções abaixo.)
Passo 5
Calcular alguns valores reais (não só assíntotas) para ancorar o esboço nos cantos — isto ajuda a desenhar o “arredondamento” das curvas:
Fórmula usada:
Cálculos (aproximações feitas com contas manuais razoáveis):
- Em
:
- Em
:
(aproximadamente
como esperado pelo efeito do polo em
).
- Em
:
(assíntota daria
; o valor real fica
abaixo por efeito do polo em
).
- Em
:
(assíntota daria
; o valor real fica
abaixo por efeito do polo em
).
- Em
(uma década acima de ), pela assíntota final:
(Resumo prático: após
a inclinação é
, então de
a
desce mais
a partir do nível assintótico em
.)
Esses pontos permitem desenhar a curva real aproximada: comece em
, caia em torno de
, mantenha inclinação
até perto de
, etc., fazendo os arredondamentos próximos de cada canto (cada canto “puxa” a curva ~
em seu próprio
).
Passo 6
Construir a assíntota da fase e calcular pontos de referência:
Regra prática para cada polo de primeira ordem:
- A contribuição de fase vai de
(em ) a (em ). - A transição ocorre aproximadamente de uma década abaixo até uma década acima do polo, com
aproximadamente em .
Somando as três contribuições obtemos a fase total:
Valores numéricos úteis (em graus, soma das três arctan):
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Para desenhar: trace três rampas de fase, cada uma estendendo-se de uma década abaixo a uma década acima do polo; some-as para obter a rampa total. Resultado qualitativo: fase começa próxima de
, cruza
em
, passa por
em
, passa por
em
e tende a
para
.
Passo 7
Instruções práticas para esboçar (passo-a-passo gráfico que você pode reproduzir à mão rápido na prova):
- No eixo horizontal marque as décadas
. - No diagrama de magnitude:
- Em
comece em e até mantenha ~ . - A partir de
desenhe uma linha com inclinação até . Em lembre-se que o ponto real é (arredondamento do canto). - A partir de
a inclinação passa a até ; em o ponto real é . - A partir de
a inclinação passa a ; em o ponto real é . - Faça os arredondamentos suaves nas regiões
para cada polo.
- Em
- No diagrama de fase:
- Some as três contribuições com transições centradas em
. - Use os pontos calculados para marcar: cerca de
em , em , em , em , e aproximando-se de em .
- Some as três contribuições com transições centradas em
- Pronto — esse esboço (assíntotas + pontos reais) é a resposta que normalmente se pede em prova. Respire fundo: está feito!
Resposta
Magnitude (assíntotas e pontos-chave):
- Nível DC:
- Assíntotas de inclinação:
para ; para ; para ; para . - Valores reais aproximados:
Fase (assíntotas e pontos-chave):
-
- Transições de fase centradas em
(cada polo: de uma década abaixo até uma década acima). - Valores reais aproximados:
(tendendo a para ).