Esboce o diagrama de Bode para os sistemas abaixo.
Passo 1
Beleza, temos que “rascunhar” o diagrama de Bode de
G(s)=\frac{s-1}{s\,(s+20)}.
Conteúdo: resposta em frequência (magnitude e fase) com método de assíntotas. Vamos precisar
- achar polos e zeros;
- montar as assíntotas de magnitude (slopes em dB/dec);
- montar as assíntotas de fase (graus);
- somar tudo e indicar os pontos de quebra em ω=1 rad/s e ω=20 rad/s.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos polos e zeros:
- Zero em
. - Polo em
(polo na origem). - Polo em
.
Em Bode, cada polo/zero contribui assim:
• Zero simples: +20 dB/dec acima da frequência de quebra, +90° de fase (no total, mas faz transição de +180° a +90°).
• Polo simples: –20 dB/dec acima da quebra, –90° de fase.
• Polo na origem: –20 dB/dec desde ω→0, –90° constante de fase.
• Zero simples: +20 dB/dec acima da frequência de quebra, +90° de fase (no total, mas faz transição de +180° a +90°).
• Polo simples: –20 dB/dec acima da quebra, –90° de fase.
• Polo na origem: –20 dB/dec desde ω→0, –90° constante de fase.
Passo 3
Magnitude (em dB):
- Até ω=1 rad/s: só o polo na origem manda –20 dB/dec.
- Em ω=1 rad/s: entra o zero → soma +20 dB/dec. Logo entre 1 e 20, slope fica 0 dB/dec (–20+20).
- Em ω=20 rad/s: entra o polo de 20 → soma –20 dB/dec de novo. Acima de 20, slope = –20 dB/dec.
Assíntotas de magnitude:
- ω<1: mag ≈ –20·log10(ω)
- 1<ω<20: mag ≈ constante (nível no ponto de quebra em 1)
- ω>20: mag ≈ nível em 20 –20·log10(ω/20)
Passo 4
Fase (em graus): soma das 3 contribuições: zero em 1, polo em 0, polo em 20.
- Polo na origem: –90° para toda ω.
- Zero em 1: transição de +180° (ω≪1) a +90° (ω≫1), começando em ω≈0.1 e terminando em ω≈10, com slope aproximado –45°/dec.
- Polo em 20: transição de 0° (ω≪20) a –90° (ω≫20), começando em ω≈2 e terminando em ω≈200, slope –45°/dec.
Some key points:
- ω≪0.1: fase ≈ (+180° zero) + (–90° orig) + (0° pole20) = +90°.
- ω≈1: zero em transição (fase≈+135°), orig –90°, pole20≈0 ⇒ total≈+45°.
- ω≈10: zero já em +90°, pole20 ainda quase 0 ⇒ total≈0°.
- ω≈20–200: polo20 vai de –45° a –90°, zero +90°, orig –90° ⇒ total vai de –45° a –90°.
- ω≫200: fase → (+90 –90 –90)= –90°.
Resposta
Diagrama de Bode assintótico de
:
Magnitude (dB):
• Slope –20 dB/dec para ω<1;
• Slope 0 dB/dec entre 1 e 20;
• Slope –20 dB/dec para ω>20.
• Slope –20 dB/dec para ω<1;
• Slope 0 dB/dec entre 1 e 20;
• Slope –20 dB/dec para ω>20.
Fase (°):
• Começa em +90° para ω≪0.1;
• Cai linearmente a –45°/dec por conta do zero em 1 (de 0.1 a 10 rad/s), depois cai mais –45°/dec por conta do polo em 20 (de 2 a 200 rad/s);
• Termina em –90° para ω≫200.
• Começa em +90° para ω≪0.1;
• Cai linearmente a –45°/dec por conta do zero em 1 (de 0.1 a 10 rad/s), depois cai mais –45°/dec por conta do polo em 20 (de 2 a 200 rad/s);
• Termina em –90° para ω≫200.
Esse esboço mostra os pontos de quebra em ω=1 e ω=20, as inclinações de magnitude e a transição de fase de +90° a –90°.