O sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta é estável, com K=2 ?
G(s) H(s)=Ks(s+1)(2 s+1)
Sugestão: Determine o valor crítico do ganho K para que haja estabilidade.

Passo 1

Beleza, o enunciado está dizendo que a malha aberta do nosso sistema é
G(s)H(s) ;=;Ks,(s+1),(2s+1)
e a pergunta é: “Esse sistema em malha fechada é estável com ?”
Conteúdo envolvido: estabilidade de sistemas em malha fechada usando o Critério de Routh–Hurwitz.
O que vamos precisar:
  • Montar o polinômio caracte­rístico da malha fechada, que vem de .
  • Aplicar o Critério de Routh para descobrir pra quais valores de todas as raízes ficam no semiplano esquerdo (Re(s)<0).

Passo 2

Primeiro, achamos o polinômio caracte­rístico.
  1. Escrevemos s(s+1)(2s+1) + K = 0 .
  2. Multiplicamos tudo pelo denominador s,(2s^2 + 3s + 1) = 2s^3 + 3s^2 + s : 2s^3 + 3s^2 + s + K = 0
  3. Expandindo :
  4. Logo o polinômio caracte­rístico fica

Passo 3

Agora, montamos a tabela de Routh. Lembrando: para um polinômio
c|cc s^3 & a3 & a1[3pt] s^2 & a2 & a0[3pt] s^1 & b1 & 0 [3pt] s^0 & a0 & ,
a tabela é:
b1 = a2,a1 - a3,a0a2
Onde
a3=2, a2=3, a1=1, a0=K
No nosso caso:
c|cc s^3 & 2 & 1[3pt] s^2 & 3 & K[3pt] s^1 & b1 & 0[3pt] s^0 & K &
Então:
b1 = 3cdot 1 - 2cdot K3 = 3 - 2K3
com

Passo 4

Para o sistema ser estável, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh devem ser positivos:
  1. Linha 0 < K < 1,5 : → sempre ok.
  2. Linha : → sempre ok.
  3. Linha : .
  4. Linha : .
Juntando, a condição de estabilidade é

Passo 5

O valor crítico (limite) do ganho para começar a perder estabilidade é í.
Agora é só olhar pro :
2 não satisfaz .

Resposta

Não, com o sistema em malha fechada fica instável. O valor máximo de para estabilidade é .

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