O sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta é estável, com
?
Sugestão: Determine o valor crítico do ganho K para que haja estabilidade.
Passo 1
Beleza, o enunciado está dizendo que a malha aberta do nosso sistema é
e a pergunta é: “Esse sistema em malha fechada é estável com
?”
Conteúdo envolvido: estabilidade de sistemas em malha fechada usando o Critério de Routh–Hurwitz.
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: estabilidade de sistemas em malha fechada usando o Critério de Routh–Hurwitz.
O que vamos precisar:
- Montar o polinômio característico da malha fechada, que vem de
. - Aplicar o Critério de Routh para descobrir pra quais valores de
todas as raízes ficam no semiplano esquerdo (Re(s)<0).
Passo 2
Primeiro, achamos o polinômio característico.
- Escrevemos
. - Multiplicamos tudo pelo denominador
: - Expandindo
: - Logo o polinômio característico fica
Passo 3
Agora, montamos a tabela de Routh. Lembrando: para um polinômio
,
a tabela é:
a tabela é:
Onde
No nosso caso:
Então:
com
Passo 4
Para o sistema ser estável, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh devem ser positivos:
- Linha
: → sempre ok. - Linha
: → sempre ok. - Linha
: → → . - Linha
: .
Juntando, a condição de estabilidade é
Passo 5
O valor crítico (limite) do ganho para começar a perder estabilidade é
.
Agora é só olhar pro
:
2 não satisfaz .
2 não satisfaz
Resposta
Não, com
o sistema em malha fechada fica instável. O valor máximo de
para estabilidade é
.