Prove que o diagrama polar da função senoidal de transferência:
G(j omega)=j omega T1+j omega T
Para 0 <= omega <= infty, é uma semicircunferência, aproveite e determine o raio desta.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente provar que, quando a gente plota no plano complexo o valor de
G(jomega)=jomega T1+jomega T
variando omega de 0 até infty, o gráfico é uma meia-circunferência. E, de quebra, descobrir qual é o raio dessa meia-circunferência.
Conteúdo: diagrama polar de funções de transferência (1ª ordem), manipulação de números complexos (separar parte real e imaginária) e equação de círculo no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro vamos escrever G(jomega) em forma x+j y, ou seja, achar a parte real x(omega) e a parte imaginária y(omega).
Pra isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de (1+jomega T), que é (1-jomega T).

Passo 3

Fazendo a conta:
G(jomega) =jomega T1+jomega T,cdot1-jomega T1-jomega T =jomega T(1-jomega T)1+(omega T)^2
Agora distribui no numerador:
jomega T(1-jomega T) =jomega T - j^2omega^2T^2 =jomega T + omega^2T^2,
pois j^2=-1. Então
G(jomega) =omega^2T^21+(omega T)^2 ;+;j,omega T1+(omega T)^2
Portanto:
x(omega)=omega^2T^21+(omega T)^2, y(omega)=omega T1+(omega T)^2

Passo 4

Agora a gente mostra que (x,y) satisfaz a equação de um círculo de centro (tfrac12,0) e raio tfrac12. Ou seja, verificar que
l(x-tfrac12r)^2 + y^2 = l(tfrac12r)^2 = 14
Substituindo x e y e fazendo conta (colocando tudo sobre o mesmo denominador [1+(omega T)^2]^2), dá exatamente 1/4.
(Detalhe da conta: ao somar o quadrado de x-tfrac12 com y^2, o numerador vira (1+omega^2T^2)^2 e o denominador 4(1+omega^2T^2)^2, que simplifica em 1/4.)

Passo 5

Por fim, como omega vai de 0 até infty, o ponto começa em (0,0) (quando omega=0) e vai até (1,0) (quando omegatoinfty), descrevendo só a metade de cima dessa circunferência. Logo é uma meia-circunferência.

Resposta

O diagrama polar de
G(jomega)=jomega T1+jomega T, 0<=omega
é uma semicircunferência de centro em l(tfrac12,0r) e raio 12,.

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