Prove que o diagrama polar da função senoidal de transferência:
Para
, é uma semicircunferência, aproveite e determine o raio desta.
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente provar que, quando a gente plota no plano complexo o valor de
variando
Conteúdo: diagrama polar de funções de transferência (1ª ordem), manipulação de números complexos (separar parte real e imaginária) e equação de círculo no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em forma
, ou seja, achar a parte real
e a parte imaginária
.
Pra isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de , que é
.
Pra isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
Passo 3
Fazendo a conta:
Agora distribui no numerador:
pois
. Então
Portanto:
Passo 4
Agora a gente mostra que
satisfaz a equação de um círculo de centro
e raio
. Ou seja, verificar que
Substituindo
e
e fazendo conta (colocando tudo sobre o mesmo denominador
), dá exatamente
.
(Detalhe da conta: ao somar o quadrado de com
, o numerador vira
e o denominador
, que simplifica em
.)
(Detalhe da conta: ao somar o quadrado de
Passo 5
Por fim, como
vai de 0 até
, o ponto começa em
(quando
) e vai até
(quando
), descrevendo só a metade de cima dessa circunferência. Logo é uma meia-circunferência.
Resposta
O diagrama polar de
é uma semicircunferência de centro em