Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o diagrama do Lugar das Raízes (para ganho positivo) do sistema dado pela função de transferência em malha aberta
Informações fornecidas:
- A função
está explicitada. - Não há zeros finitos (numerador constante).
- Há polos em
(multiplicidade 2) e (multiplicidade 1).
O objetivo é obter todos os elementos necessários para desenhar o lugar das raízes: polos/zeros, segmentos do eixo real onde o LdR existe, assíntotas (centro e ângulos), ângulos de partida/chegada nas singularidades, pontos de cruzamento do eixo imaginário e observações sobre estabilidade em função de.
Passo 2
Escrevendo a equação característica em malha fechada com ganho
:
Isolando
obtemos a expressão útil para localizar raízes em função de
:
Explicação curta do porquê: o lugar das raízes é o conjunto dos valores de
que satisfazem a condição de fase (ângulo) e módulo para algum
. A equação acima dá diretamente o valor de
associado a um dado
; para
que pertençam ao LdR, esse
tem que ser real e positivo.
Passo 3
Lista explícita de polos e zeros (pegar direto da
):
- Polos:
(multiplicidade 2) e (multiplicidade 1). - Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
Anote-os no esboço com um “×” em(duas vezes, sobreposto) e em .
Passo 4
Região do eixo real onde o lugar das raízes está presente.
Regra prática: em um ponto do eixo real o LdR existe se, à direita desse ponto, o número total de polos e zeros for ímpar.
Contando polos/zeros à direita de intervalos:
Regra prática: em um ponto do eixo real o LdR existe se, à direita desse ponto, o número total de polos e zeros for ímpar.
Contando polos/zeros à direita de intervalos:
- Para
em : à direita estão 3 polos ímpar LdR presente nesse intervalo. - Para
em : à direita estão 2 polos par sem LdR. - Para
em : à direita estão 0 polos par sem LdR.
Conclusão: o único segmento do eixo real que pertence ao LdR é. No esboço, sombreie/trace esse segmento como parte do LdR.
Passo 5
Número de ramos e destino das raízes (no infinito).
- Número de ramos do LdR = número de polos =
. - Como não há zeros finitos (
), todas as raízes vão para o infinito quando . As direções para o infinito são dadas pelas assíntotas.
Calcule as assíntotas:
- Número de assíntotas
- Centro (centroid) das assíntotas:
- Ângulos das assíntotas (fórmula):
Substituindo
:
Interprete: as três assíntotas partem do ponto
com ângulos
medidos a partir do eixo positivo real. No esboço, desenhe essas três linhas saindo de
.
Passo 6
Ângulos de partida (ângulos de saída) nos polos — regra prática e cálculo.
Fórmula útil (versão prática): para um polo com multiplicidade
, o(s) ângulo(s) de partida
satisfaz(em)
Fórmula útil (versão prática): para um polo
onde
é o ângulo do vetor de
para
.
-
Para o polo duplo em
(multiplicidade ): - O único outro polo está em
. O ângulo do vetor de para é radiano (vetor para a esquerda ou para a direita? aqui o cálculo padrão dá ; aplicando a convenção do método resulta nas contas abaixo). - Não há zeros finitos.
Assim
Parae obtemos e (ou ). Conclusão: as duas raízes saem de verticalmente, uma para cima e outra para baixo. (No esboço, desenhe as setas partindo em a partir de .) - O único outro polo está em
-
Para o polo simples em
: - As contribuições dos dois polos em
somam dois ângulos de (no cálculo acima isso equivale a , que é congruente a módulo ), dando como resultado que o ramo de parte para a esquerda ( ). Conclusão: o ramo que parte de segue para a direção do eixo real negativo (vai em e depois para a assíntota a ).
- As contribuições dos dois polos em
Passo 7
Pontos de cruzamento com o eixo imaginário (resolver exatamente):
Para pontos do eixo imaginário devemos ter
real e positivo. Usamos
Para pontos do eixo imaginário
Colocando
e impondo parte imaginária nula:
Calcule com
.
Calcule
Multiplicando:
Portanto
Para
real precisamos de
Soluções:
(caso trivial, corresponde ao eixo real) e
.
Para a parte real vale
Para
logo
Conclusão: o LdR cruza o eixo imaginário nos pontos
quando o ganho é
Interpretação física: quando
aumenta e chega a
, o par de raízes complexas atinge o eixo imaginário (condição limite de estabilidade). Para
esse par passa para a metade direita do plano
(sistema instável).
Passo 8
Comportamento qualitativo final dos ramos e instruções para o esboço:
- Pontos de partida (K=0): polos em
(dupla) e . - Segmento do eixo real que pertence ao LdR:
. - O ramo que parte de
vai para a esquerda ao longo do eixo real e segue para a assíntota de ângulo . - As duas raízes em
imediatamente partem para cima e para baixo (ângulos de partida ) formando um par conjugado que, conforme cresce, se afasta do eixo real, curvam-se passando pelos quadrantes e tendem para as assíntotas com ângulos a partir do centro . - Os três ramos tendem para o infinito seguindo as três assíntotas com ângulos
. - Marque no desenho o cruzamento do eixo imaginário em
e indique o valor do ganho correspondente . - Observação de estabilidade: para
todos os polos em malha fechada estão no semiplano esquerdo; para o par conjugado cruza para o semiplano direito e o sistema torna-se instável.
Desenho sugerido (passos para o esboço à mão):
- No eixo real, marque e rotule
e (ponha um “×” duplo em e um “×” em ). - Desenhe o segmento do LdR em
com setas indicando movimento para a esquerda quando aumenta. - Do ponto
desenhe duas curvas que saem verticalmente (uma para cima e outra para baixo), curvano-se depois em direção às assíntotas de partindo do centro . - Desenhe as três assíntotas a partir de
nos ângulos . - Marque os pontos
e e anote naquele cruzamento. - Indique a região de estabilidade (
).
Resposta
Polos:
(duplo) e
.
Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
Segmento do eixo real no LdR: .
Centro das assíntotas: .
Assíntotas: ângulos .
Ângulos de partida: em
; em
.
Cruzamento do eixo imaginário: para
.
Estabilidade: sistema em malha fechada estável para ; instável para
.
Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
Segmento do eixo real no LdR:
Centro das assíntotas:
Assíntotas: ângulos
Ângulos de partida: em
Cruzamento do eixo imaginário:
Estabilidade: sistema em malha fechada estável para