Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo.
G(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o diagrama do Lugar das Raízes (para ganho positivo) do sistema dado pela função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}(s+2)}.
Informações fornecidas:
  • A função G(s) está explicitada.
  • Não há zeros finitos (numerador constante).
  • Há polos em s=-1 (multiplicidade 2) e s=-2 (multiplicidade 1).
    O objetivo é obter todos os elementos necessários para desenhar o lugar das raízes: polos/zeros, segmentos do eixo real onde o LdR existe, assíntotas (centro e ângulos), ângulos de partida/chegada nas singularidades, pontos de cruzamento do eixo imaginário e observações sobre estabilidade em função de K.

Passo 2

Escrevendo a equação característica em malha fechada com ganho K>0:
1+K\,G(s)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1+\frac{K}{(s+1)^{2}(s+2)}=0.
Isolando K obtemos a expressão útil para localizar raízes em função de s:
K = -\,(s+1)^{2}(s+2).
Explicação curta do porquê: o lugar das raízes é o conjunto dos valores de s que satisfazem a condição de fase (ângulo) e módulo para algum K>0. A equação acima dá diretamente o valor de K associado a um dado s; para s que pertençam ao LdR, esse K tem que ser real e positivo.

Passo 3

Lista explícita de polos e zeros (pegar direto da G(s)):
  • Polos: s_{1}=-1 (multiplicidade 2) e s_{2}=-2 (multiplicidade 1).
  • Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
    Anote-os no esboço com um “×” em s=-1 (duas vezes, sobreposto) e em s=-2.

Passo 4

Região do eixo real onde o lugar das raízes está presente.
Regra prática: em um ponto do eixo real o LdR existe se, à direita desse ponto, o número total de polos e zeros for ímpar.
Contando polos/zeros à direita de intervalos:
  • Para s em (-\infty,-2): à direita estão 3 polos \Rightarrow ímpar \Rightarrow LdR presente nesse intervalo.
  • Para s em (-2,-1): à direita estão 2 polos \Rightarrow par \Rightarrow sem LdR.
  • Para s em (-1,+\infty): à direita estão 0 polos \Rightarrow par \Rightarrow sem LdR.
    Conclusão: o único segmento do eixo real que pertence ao LdR é (-\infty,-2). No esboço, sombreie/trace esse segmento como parte do LdR.

Passo 5

Número de ramos e destino das raízes (no infinito).
  • Número de ramos do LdR = número de polos = n=3.
  • Como não há zeros finitos ( m=0), todas as 3 raízes vão para o infinito quando K\to\infty. As direções para o infinito são dadas pelas assíntotas.
Calcule as assíntotas:
  • Número de assíntotas \,q=n-m=3.
  • Centro (centroid) das assíntotas:
\sigma_a=\frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{n-m}=\frac{(-1)+(-1)+(-2)-0}{3}=\frac{-4}{3}\approx -1{,}3333.
  • Ângulos das assíntotas (fórmula):
\phi_a=\frac{(2k+1)\pi}{q},\quad k=0,1,2.
Substituindo q=3:
\phi_a=\frac{\pi}{3}=60^\circ,\quad \pi=180^\circ,\quad \frac{5\pi}{3}=300^\circ\\ (=-60^\circ).
Interprete: as três assíntotas partem do ponto \sigma_a=-4/3 com ângulos 180^\circ,\;60^\circ,\;-60^\circ medidos a partir do eixo positivo real. No esboço, desenhe essas três linhas saindo de -1{,}333.

Passo 6

Ângulos de partida (ângulos de saída) nos polos — regra prática e cálculo.
Fórmula útil (versão prática): para um polo p_i com multiplicidade r, o(s) ângulo(s) de partida \varphi satisfaz(em)
r\varphi + \sum_{\text{outros polos}} \theta_{p_i p_j} - \sum_{\text{zeros}} \theta_{p_i z_k} = (2k+1)\pi,
onde \theta_{ab} é o ângulo do vetor de a para b.
  • Para o polo duplo em p=-1 (multiplicidade r=2):
    • O único outro polo está em -2. O ângulo do vetor de -1 para -2 é 0 radiano (vetor para a esquerda ou para a direita? aqui o cálculo padrão dá \theta=0; aplicando a convenção do método resulta nas contas abaixo).
    • Não há zeros finitos.
      Assim
    2\varphi = (2k+1)\pi \quad\Rightarrow\quad \varphi=\frac{(2k+1)\pi}{2}.
    Para k=0 e k=1 obtemos \varphi=\frac{\pi}{2}=90^\circ e \varphi=\frac{3\pi}{2}=270^\circ (ou -90^\circ). Conclusão: as duas raízes saem de s=-1 verticalmente, uma para cima e outra para baixo. (No esboço, desenhe as setas partindo em \pm 90^\circ a partir de -1.)
  • Para o polo simples em p=-2:
    • As contribuições dos dois polos em -1 somam dois ângulos de \pi (no cálculo acima isso equivale a 2\pi, que é congruente a 0 módulo 2\pi), dando como resultado que o ramo de -2 parte para a esquerda ( 180^\circ). Conclusão: o ramo que parte de -2 segue para a direção do eixo real negativo (vai em (-\infty,-2) e depois para a assíntota a 180^\circ).

Passo 7

Pontos de cruzamento com o eixo imaginário (resolver exatamente):
Para pontos do eixo imaginário s=j\omega devemos ter K real e positivo. Usamos
K = -\,(s+1)^{2}(s+2).
Colocando s=j\omega e impondo parte imaginária nula:
Calcule (s+1)^{2}(s+2) com s=j\omega.
s+1=1+j\omega,\qquad (s+1)^{2}=(1+j\omega)^{2}=1+2j\omega-\omega^{2}.
s+2=2+j\omega.
Multiplicando:
(1+2j\omega-\omega^{2})(2+j\omega)=\bigl(2-4\omega^{2}\bigr)+j\bigl(5\omega-\omega^{3}\bigr).
Portanto
K = -\bigl(2-4\omega^{2}\bigr) - j\bigl(5\omega-\omega^{3}\bigr).
Para K real precisamos de
5\omega-\omega^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega(5-\omega^{2})=0.
Soluções: \omega=0 (caso trivial, corresponde ao eixo real) e \omega=\pm\sqrt{5}.
Para \omega=\sqrt{5} a parte real vale
2-4\omega^{2}=2-4\cdot 5=2-20=-18,
logo
K=-(-18)=18.
Conclusão: o LdR cruza o eixo imaginário nos pontos
s=\pm j\sqrt{5}
quando o ganho é
K=18.
Interpretação física: quando K aumenta e chega a 18, o par de raízes complexas atinge o eixo imaginário (condição limite de estabilidade). Para K>18 esse par passa para a metade direita do plano s (sistema instável).

Passo 8

Comportamento qualitativo final dos ramos e instruções para o esboço:
  • Pontos de partida (K=0): polos em s=-1 (dupla) e s=-2.
  • Segmento do eixo real que pertence ao LdR: (-\infty,-2).
  • O ramo que parte de s=-2 vai para a esquerda ao longo do eixo real e segue para a assíntota de ângulo 180^\circ.
  • As duas raízes em s=-1 imediatamente partem para cima e para baixo (ângulos de partida \pm 90^\circ) formando um par conjugado que, conforme K cresce, se afasta do eixo real, curvam-se passando pelos quadrantes e tendem para as assíntotas com ângulos \pm 60^\circ a partir do centro \sigma_a=-\tfrac{4}{3}.
  • Os três ramos tendem para o infinito seguindo as três assíntotas com ângulos 180^\circ,\;60^\circ,\;-60^\circ.
  • Marque no desenho o cruzamento do eixo imaginário em s=\pm j\sqrt{5} e indique o valor do ganho correspondente K=18.
  • Observação de estabilidade: para 0<K<18 todos os polos em malha fechada estão no semiplano esquerdo; para K>18 o par conjugado cruza para o semiplano direito e o sistema torna-se instável.
Desenho sugerido (passos para o esboço à mão):
  1. No eixo real, marque e rotule -2 e -1 (ponha um “×” duplo em -1 e um “×” em -2).
  2. Desenhe o segmento do LdR em (-\infty,-2) com setas indicando movimento para a esquerda quando K aumenta.
  3. Do ponto -1 desenhe duas curvas que saem verticalmente (uma para cima e outra para baixo), curvano-se depois em direção às assíntotas de \pm 60^\circ partindo do centro -4/3.
  4. Desenhe as três assíntotas a partir de -4/3 nos ângulos 180^\circ,60^\circ,-60^\circ.
  5. Marque os pontos j\sqrt{5} e -j\sqrt{5} e anote K=18 naquele cruzamento.
  6. Indique a região de estabilidade ( 0<K<18).

Resposta

Polos: s=-1 (duplo) e s=-2.
Zeros: nenhum (nenhum zero finito).
Segmento do eixo real no LdR: (-\infty,-2).
Centro das assíntotas: \sigma_a=-\dfrac{4}{3}.
Assíntotas: ângulos \phi_a=180^\circ,\;60^\circ,\;-60^\circ.
Ângulos de partida: em s=-1 \varphi=\pm 90^\circ; em s=-2 \varphi=180^\circ.
Cruzamento do eixo imaginário: s=\pm j\sqrt{5} para K=18.
Estabilidade: sistema em malha fechada estável para 0<K<18; instável para K>18.

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