( \mathbf{0 , 5} pontos) Resolva a integral indefinida:
\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3 x^{2}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é \,x^{3}+x^{2}+x+2.
  • O denominador é \,x^{4}+3x^{2}+2.
  • Não há indicação de substituição direta no enunciado; precisamos manipular a expressão para integrá-la.

Passo 2

Fatorar o denominador para simplificar a integral. Note que o polinômio é quadrático em \,x^{2}. Faça a substituição formal \,t=x^{2} e fator:
t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2).
Voltando a \,x, obtemos a fatoração
x^{4}+3x^{2}+2=(x^{2}+1)(x^{2}+2).
Essa fatoração é útil porque o denominador se escreve como produto de dois quadráticos irreducíveis sobre \mathbb{R}.

Passo 3

Aplicar decomposição em frações parciais apropriada. Como os fatores do denominador são quadráticos e o grau do numerador (3) é menor que o do denominador (4), a forma geral da decomposição é
\frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Explico por que: para cada fator quadrático irreduzível (x^{2}+a) usamos um numerador linear Ax+B.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+2) e comparar coeficientes. Temos
x^{3}+x^{2}+x+2=(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Expandindo os dois produtos:
(Ax+B)(x^{2}+2)=Ax^{3}+Bx^{2}+2Ax+2B,
(Cx+D)(x^{2}+1)=Cx^{3}+Dx^{2}+Cx+D.
Somando:
(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+(2B+D).
Agora equacione com os coeficientes da esquerda, termo a termo:
\begin{cases} A+C=1,\\[4pt] B+D=1,\\[4pt] 2A+C=1,\\[4pt] 2B+D=2. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear para A,B,C,D. Subtraindo a primeira e a terceira equação:
(2A+C)-(A+C)=1-1 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Com A=0 vem C=1 (pela primeira equação). Para B,D, subtraindo a segunda da quarta:
(2B+D)-(B+D)=2-1 \quad\Rightarrow\quad B=1.
Com B=1 vem D=0 (pela segunda equação). Portanto
A=0,\quad B=1,\quad C=1,\quad D=0.

Passo 6

Substituir os coeficientes na decomposição e separar a integral:
\frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{x}{x^{2}+2}.
Logo
\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}\,dx =\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx+\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx.

Passo 7

Calcular cada integral separadamente.
(a) Integral de \dfrac{1}{x^{2}+1}. Conhecimento útil: a derivada da função \arctan x é \dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x.
(b) Integral de \dfrac{x}{x^{2}+2}. Use substituição simples: seja \,u=x^{2}+2. Então \,du=2x\,dx, ou \,x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+\text{const}=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr).
Aqui \,x^{2}+2>0 para todo x, então a barra de valor absoluto não altera o argumento, mas deixamos a forma \ln(x^{2}+2).

Passo 8

Somando os resultados das duas integrais e juntando a constante de integração, obtemos a primitiva geral:
\arctan x+\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr)+C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\arctan x+\dfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr)+C

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