( \mathbf{0 , 5} pontos) Resolva a integral indefinida:
\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3 x^{2}+2} d x
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
O numerador é \,x^{3}+x^{2}+x+2.
O denominador é \,x^{4}+3x^{2}+2.
Não há indicação de substituição direta no enunciado; precisamos manipular a expressão para integrá-la.
Passo 2
Fatorar o denominador para simplificar a integral. Note que o polinômio é quadrático em \,x^{2}. Faça a substituição formal \,t=x^{2} e fator:
t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2).
Voltando a \,x, obtemos a fatoração
x^{4}+3x^{2}+2=(x^{2}+1)(x^{2}+2).
Essa fatoração é útil porque o denominador se escreve como produto de dois quadráticos irreducíveis sobre \mathbb{R}.
Passo 3
Aplicar decomposição em frações parciais apropriada. Como os fatores do denominador são quadráticos e o grau do numerador (3) é menor que o do denominador (4), a forma geral da decomposição é