(
pontos) Resolva a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é uma função racional, com numerador
e denominador . - O domínio natural exclui
e porque o denominador se anula nesses pontos. - A tarefa é achar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja a integranda.
Passo 2
Fatorar o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais. Calcular:
Explicação breve: fatorar polinômios é útil porque mostra fatores lineares e repetidos (aqui
é fator repetido de ordem
e
é linear), o que indica a forma das frações parciais.
Passo 3
Verificar se a fração é própria: o grau do numerador é
e o do denominador é
, logo é própria. Portanto podemos aplicar decomposição em frações parciais sem precisar fazer divisão polinomial.
Regra para frações parciais quando aparece um fator repetido
e um fator linear
: a decomposição tem a forma
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Multiplicar ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora expandir os termos do lado direito para agrupar coeficientes:
Passo 5
Comparar coeficientes do polinômio do lado esquerdo com os do lado direito. Para os termos em
Resolver passo a passo:
- Da terceira equação vem
obtemos
, logo .
- Substituindo emobtemos , logo .
Portanto os coeficientes são
,
e
.]
Passo 6
Substituir os coeficientes na decomposição para reescrever a integranda como soma de termos simples:
Explicação: o termo com
desapareceu porque
, então a integral fica mais simples.
Passo 7
Integrar termo a termo. Reescrever
como
para aplicar potência:
Calcular cada integral:
- Para
usa-se a regra da integral do recíproco: . Logo
- Para
usa-se a regra das potências: quando . Aqui , então
Somando os resultados e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando a primitiva encontrada deve voltar a integranda.
Derivar :
Derivar
Somando dá
, que é exatamente a integranda, confirmando a resposta.