( \mathbf{0 , 5} pontos) Resolva a integral indefinida:
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{3}+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{3}+x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é uma função racional, com numerador 2x^{2}+3x+1 e denominador x^{3}+x^{2}.
  • O domínio natural exclui x=0 e x=-1 porque o denominador se anula nesses pontos.
  • A tarefa é achar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja a integranda.

Passo 2

Fatorar o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais. Calcular:
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1).
Explicação breve: fatorar polinômios é útil porque mostra fatores lineares e repetidos (aqui x é fator repetido de ordem 2 e x+1 é linear), o que indica a forma das frações parciais.

Passo 3

Verificar se a fração é própria: o grau do numerador é 2 e o do denominador é 3, logo é própria. Portanto podemos aplicar decomposição em frações parciais sem precisar fazer divisão polinomial.
Regra para frações parciais quando aparece um fator repetido x^{2} e um fator linear x+1: a decomposição tem a forma
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados por x^{2}(x+1) para obter uma identidade polinomial:
2x^{2}+3x+1 = A\cdot x(x+1) + B\cdot (x+1) + C\cdot x^{2}.
Agora expandir os termos do lado direito para agrupar coeficientes:
A\bigl(x^{2}+x\bigr) + Bx + B + Cx^{2} = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.

Passo 5

Comparar coeficientes do polinômio do lado esquerdo com os do lado direito. Para os termos em x^{2}\), \(x\) e constantes obtemos o sistema: \[\begin{cases} A + C = 2,\\[4pt] A + B = 3,\\[4pt] B = 1. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da terceira equação vem B=1\]. - Substituindo em \(A+B=3 obtemos A+1=3, logo A=2.
    - Substituindo em A+C=2 obtemos 2+C=2, logo C=0.
Portanto os coeficientes são A=2, B=1 e C=0.]

Passo 6

Substituir os coeficientes na decomposição para reescrever a integranda como soma de termos simples:
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}(x+1)}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{0}{x+1}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Explicação: o termo com x+1 desapareceu porque C=0, então a integral fica mais simples.

Passo 7

Integrar termo a termo. Reescrever \dfrac{1}{x^{2}} como x^{-2} para aplicar potência:
\int \left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) dx = \int \frac{2}{x}\,dx + \int x^{-2}\,dx.
Calcular cada integral:
  • Para \int \dfrac{2}{x}\,dx usa-se a regra da integral do recíproco: \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. Logo
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|.
  • Para \int x^{-2}\,dx usa-se a regra das potências: \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq-1. Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
2\ln|x| - \frac{1}{x} + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando a primitiva encontrada deve voltar a integranda.
Derivar \,2\ln|x| - \dfrac{1}{x}:
\frac{d}{dx}\!\left(2\ln|x|\right)=\frac{2}{x},\qquad \frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^{2}}.
Somando dá \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}(x+1)}, que é exatamente a integranda, confirmando a resposta.

Resposta

2\ln|x|-\dfrac{1}{x}+C

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