Esboce os diagramas assintóticos de Bode (módulo e fase) do sistema
Determine, também, a saída
do sistema para a entrada
.
Passo 1
Beleza, a questão pede duas coisas:
- Esboçar os diagramas de Bode (módulo em dB e fase em graus) de
- Para a entrada
, encontrar a saída .
Conteúdo envolvido: resposta em frequência, Bode assintótico (decibéis, polos e zeros), e análise de sinais senoidais via função de transferência (método fasorial). A gente vai precisar factorar
em zeros e polos, montar as retas de slope e calcular
em
rad/s.
Passo 2
Fatoração em polos e zeros (pra montar o Bode):
– Polos em e
.
– Zero: é um par complexo com frequência natural
rad/s e amortecimento
.
Pra aproximar o Bode assintótico, tratamos esse par como dois zeros reais em .
– Polos em
– Zero:
Pra aproximar o Bode assintótico, tratamos esse par como dois zeros reais em
Magnitude:
- Em baixas frequências
, todos os polos e zeros ainda não contribuem em slope, então
;\quad em dB: dB. - Em
rad/s: começam os dois zeros (+40 dB/dec) e um polo (-20 dB/dec) → ganho varia com +20 dB/dec após 1 rad/s. - Em
rad/s: entra o segundo polo (-20 dB/dec), então o slope cai de +20 dB/dec a 0 (reta horizontal) pra .
Resumo do módulo assintótico (em dB vs. log ω):
- ω<1: magnitude ≈ –20 dB, slope 0
- 1<ω<10: slope +20 dB/dec
- ω>10: slope 0 (reta)
Passo 3
Fase (assintótico simplificado, em graus):
– Cada zero real dá +90°; temos 2 zeros em ω=1 ⇒ +180° quando totalmente atuantes.
– Cada polo real dá –90°; um polo em 1 rad/s e outro em 10 rad/s ⇒ total –180° em altas ω.
– Cada zero real dá +90°; temos 2 zeros em ω=1 ⇒ +180° quando totalmente atuantes.
– Cada polo real dá –90°; um polo em 1 rad/s e outro em 10 rad/s ⇒ total –180° em altas ω.
Assintótico básico:
- ω<1: zeros e polos “ainda não começaram” → φ≈0°
- 1<ω<10: zeros já deram +180°, o polo de 1 deu –90° → φ≈+90°
- ω>10: zeros +180°, polos (1 e 10) dão –180° → φ≈0°
Passo 4
Agora a saída para
.
- Substituímos
com :
- Calcular magnitude e fase:
– Numerador:, ∠ .
– Denominador:
•, ∠≈87.1°
•, ∠≈63.4°
→, ∠ .
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- Como
, temos