Esboce os diagramas assintóticos de Bode (módulo e fase) do sistema
H(s)=s^2+0.2 s+1(s+1)(s+10)
Determine, também, a saída y(t) do sistema para a entrada x(t)=cos (20 t).

Passo 1

Beleza, a questão pede duas coisas:
  1. Esboçar os diagramas de Bode (módulo em dB e fase em graus) de
H(s)=s^2+0.2,s+1(s+1)(s+10)
  1. Para a entrada , encontrar a saída .
Conteúdo envolvido: resposta em frequência, Bode assintótico (decibéis, polos e zeros), e análise de sinais senoidais via função de transferência (método fasorial). A gente vai precisar factorar em zeros e polos, montar as retas de slope e calcular em rad/s.

Passo 2

Fatoração em polos e zeros (pra montar o Bode):
– Polos em e .
– Zero: é um par complexo com frequência natural rad/s e amortecimento .
Pra aproximar o Bode assintótico, tratamos esse par como dois zeros reais em .
Magnitude:
  1. Em baixas frequências , todos os polos e zeros ainda não contribuem em slope, então
    ;\quad em dB: dB.
  2. Em rad/s: começam os dois zeros (+40 dB/dec) e um polo (-20 dB/dec) → ganho varia com +20 dB/dec após 1 rad/s.
  3. Em rad/s: entra o segundo polo (-20 dB/dec), então o slope cai de +20 dB/dec a 0 (reta horizontal) pra .
Resumo do módulo assintótico (em dB vs. log ω):
  • ω<1: magnitude ≈ –20 dB, slope 0
  • 1<ω<10: slope +20 dB/dec
  • ω>10: slope 0 (reta)

Passo 3

Fase (assintótico simplificado, em graus):
– Cada zero real dá +90°; temos 2 zeros em ω=1 ⇒ +180° quando totalmente atuantes.
– Cada polo real dá –90°; um polo em 1 rad/s e outro em 10 rad/s ⇒ total –180° em altas ω.
Assintótico básico:
  • ω<1: zeros e polos “ainda não começaram” → φ≈0°
  • 1<ω<10: zeros já deram +180°, o polo de 1 deu –90° → φ≈+90°
  • ω>10: zeros +180°, polos (1 e 10) dão –180° → φ≈0°

Passo 4

Agora a saída para H(j20) =(j20)^2+0.2,(j20)+1(j20+1)(j20+10) =-400 + j4 +1(1+j20)(10+j20) =-399 + j4(1+j20)(10+j20) .
  1. Substituímos |H(j20)|=398447.5approx0.889, arg H(j20)=179.4°-150.5°approx28.9° com :
  1. Calcular magnitude e fase:
    – Numerador: , ∠ .
    – Denominador:
    , ∠≈87.1°
    , ∠≈63.4°
    , ∠ .
    – Logo
  1. Como , temos

Resposta

y(t)approx 0.889;cosl(20t+28.9^circr)

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