Considere x(t) um sinal limitado em frequência, ou seja, |X(j omega)|=0 para |omega|>omegam e considere w(t)=u(t)-u(t-T / 2). Determine o máximo valor de T tal que o sinal x(t) possa ser recuperado de suas amostras
xa(t)=sumn=-infty^+infty x(n T) w(t-n T)
Especifique, também, a transformada de Fourier do filtro que recupera o sinal x(t) sem distorção.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sinal X(jomega)=0para;|omega|>omegam limitado em frequência, ou seja
w(t)=u(t)-u!l(t-tfrac T2r)
e um “pulso”
xa(t)=sumn=-infty^+inftyx(nT),w(t-nT)
que tem duração . A gente forma
e a pergunta é: qual o maior que ainda garante que dá para recuperar sem erro? E, de bônus, qual filtro em frequência faz essa recuperação certinho. O conteúdo é o Teorema de Amostragem, aliasing e projeto de filtro inversor de pulso (“hold”) em frequência.

Passo 2

Primeiro escrevemos xs(t)=sumnx(nT),de como convolução de um trem de impulsos com xa(t)=xs(t)ast w(t) . Defina
Xa(jomega)=Xs(jomega),W(jomega),
Então
Xs(jomega)=2piTsumk=-infty^inftyXl(j(omega-kOmegas)r), Omegas=2piT,
Na frequência isso vira
W(jomega) =integral0^T/2e^-jomega t,dt =1-e^-jomega T/2jomega
com
e

Passo 3

Para não ter aliasing as réplicas de Omegas>2omegam ;;Longrightarrow;; 2piT>2omegam ;;Longrightarrow;; T contidas em Tmax=piomegam não podem se sobrepor no intervalo . Isso exige
O maior permitido é, portanto,

Passo 4

Para tirar o efeito do pulso H(jomega),W(jomega)=1 a gente precisa de um filtro H(jomega)=1W(jomega) =jomega1-e^-jomega T/2, |omega|<=omegam, que no intervalo satisfaça
Logo
e para . Esse filtro cancela exatamente a forma do pulso e mantém só a banda de .

Resposta

Maior passo de amostragem sem distorção:
boxedTmax=piomegam
Filtro que recupera boxedH(jomega)= dfracjomega1-e^-jomega T/2,&|omega|<=omegam, 0,&|omega|>omegam (sem distorcer):

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