Considere
um sinal limitado em frequência, ou seja,
para
e considere
. Determine o máximo valor de
tal que o sinal
possa ser recuperado de suas amostras
Especifique, também, a transformada de Fourier do filtro que recupera o sinal
sem distorção.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sinal
limitado em frequência, ou seja
e um “pulso”
que tem duração
. A gente forma
e a pergunta é: qual o maior
que ainda garante que dá para recuperar
sem erro? E, de bônus, qual filtro em frequência faz essa recuperação certinho. O conteúdo é o Teorema de Amostragem, aliasing e projeto de filtro inversor de pulso (“hold”) em frequência.
Passo 2
Primeiro escrevemos
como convolução de um trem de impulsos com
. Defina
Então
Na frequência isso vira
com
e
Passo 3
Para não ter aliasing as réplicas de
contidas em
não podem se sobrepor no intervalo
. Isso exige
O maior
permitido é, portanto,
Passo 4
Para tirar o efeito do pulso
a gente precisa de um filtro
que no intervalo
satisfaça
Logo
e
para
. Esse filtro cancela exatamente a forma do pulso e mantém só a banda de
.
Resposta
Maior passo de amostragem sem distorção:
Filtro que recupera
(sem distorcer):