Seja
um sinal limitado em frequência, isto é,
para
. Construa o sinal
e determine o máximo valor de
para o qual
pode ser reconstruído a partir de
e especifique a transformada de Fourier do filtro que recupera o sinal
sem distorção.
Passo 1
Beleza, então o que o exercício pede é o seguinte:
– Temos um sinal x(t) limitado em banda, ou seja, sua TF X(jω) vale zero para |ω|>ωₘ.
– A gente constrói y(t)=x(t)[cos(3πt)+sen(10πt)] e quer:
– Temos um sinal x(t) limitado em banda, ou seja, sua TF X(jω) vale zero para |ω|>ωₘ.
– A gente constrói y(t)=x(t)[cos(3πt)+sen(10πt)] e quer:
- O maior ωₘ que permita reconstruir x(t) a partir de y(t) sem mistura de espectros.
- A transformada de Fourier do filtro que, aplicado em y(t), recupera x(t) 100% sem distorção.
Conteúdo envolvido: Transformada de Fourier, Teorema da modulação (multiplicação em tempo → deslocamento em frequência) e projeto de filtro ideal (band-pass).
Passo 2
Primeiro, vamos achar Y(jω) usando o Teorema da Modulação.
- cos(3πt) = (1/2)[e{j3πt}+e{-j3πt}]
→ x(t)·cos(3πt) gera em frequência
(1/2)[X(j(ω−3π))+X(j(ω+3π))]. - sen(10πt) = (1/2j)[e{j10πt}−e{-j10πt}]
→ x(t)·sen(10πt) gera
(1/2j)[X(j(ω−10π)) − X(j(ω+10π))].
Somando,
Passo 3
Agora, para não ocorrer sobreposição (“aliasing”) entre essas cópias de X(jω) precisamos que os intervalos
– em torno de +3π, isto é [3π−ωₘ, 3π+ωₘ],
– em torno de −3π, isto é [−3π−ωₘ, −3π+ωₘ],
– em torno de ±10π, isto é [10π−ωₘ, 10π+ωₘ] e [−10π−ωₘ, −10π+ωₘ],
fiquem todos separados.
– em torno de +3π, isto é [3π−ωₘ, 3π+ωₘ],
– em torno de −3π, isto é [−3π−ωₘ, −3π+ωₘ],
– em torno de ±10π, isto é [10π−ωₘ, 10π+ωₘ] e [−10π−ωₘ, −10π+ωₘ],
fiquem todos separados.
O caso mais crítico vem dos deslocamentos mais próximos ao zero, que são ±3π. Para não tocar o zero (nem o pedaço de −3π), precisamos:
3π − ωₘ > ωₘ
→ 3π > 2ωₘ
→ ωₘ < 3π/2.
3π − ωₘ > ωₘ
→ 3π > 2ωₘ
→ ωₘ < 3π/2.
Já a condição com 10π daria ωₘ < 10π/2 = 5π, que é mais frouxa. Então o valor máximo permitido é
Passo 4
Com ωₘ ≤ 3π/2 estamos tranquilos: cada “cópia” de X(jω) fica em bandas separadas.
Para resgatar x(t) a gente vai escolher uma dessas bandas (normalmente a do deslocamento menor, ±3π) e depois voltar para banda-base.
Para resgatar x(t) a gente vai escolher uma dessas bandas (normalmente a do deslocamento menor, ±3π) e depois voltar para banda-base.
Um filtro ideal H(jω) que isola a cópia em +3π sem distorcer nada é:
Por que vale 2 no ganho?
– Na expressão de Y(jω), a cópia em +3π veio com fator 1/2 multiplicando X(j(ω−3π)).
– Se fizermos H(jω)·Y(jω), a parte em volta de +3π vai virar
2·(1/2)X\bigl(j(ω−3π)\bigr)=X\bigl(j(ω−3π)\bigr),
ou seja, recuperamos a forma de X, só que deslocada ainda pra +3π.
– Na expressão de Y(jω), a cópia em +3π veio com fator 1/2 multiplicando X(j(ω−3π)).
– Se fizermos H(jω)·Y(jω), a parte em volta de +3π vai virar
2·(1/2)X\bigl(j(ω−3π)\bigr)=X\bigl(j(ω−3π)\bigr),
ou seja, recuperamos a forma de X, só que deslocada ainda pra +3π.
Passo 5
Depois de H(jω) aplicado, no domínio do tempo isso equivale a um sinal
u(t) = x(t)·e^{j3πt}.
Para terminar, basta multiplicar u(t) por e^{-j3πt} (ou, mais comumente, usar um misturador com cos(3πt) e depois low-pass) e fica x(t) de volta.
u(t) = x(t)·e^{j3πt}.
Para terminar, basta multiplicar u(t) por e^{-j3πt} (ou, mais comumente, usar um misturador com cos(3πt) e depois low-pass) e fica x(t) de volta.
Mas o enunciado pediu “a transformada de Fourier do filtro que recupera x(t) sem distorção”. Então nossa resposta final é:
Resposta
- ωₘ,ₘₐₓ = 3π/2.
- H(jω) =