Esboce os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase de cada uma das funções de transferência:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para esboçar os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase para a função de transferência
.
Matéria envolvida: Diagramas de Bode, que são usados para analisar a resposta em frequência de sistemas de controle.
O que precisamos:
- Identificar os polos da função de transferência.
- Determinar as frequências de corte (break frequencies).
- Aplicar as regras básicas para construir os diagramas assintóticos de magnitude e fase.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função de transferência
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero.
Então, os polos são:
Esses polos determinam as frequências de corte nos diagramas de Bode.
Passo 3
Agora, vamos determinar as frequências de corte (
) correspondentes a cada polo. Para um polo em
, a frequência de corte é
.
Então, temos:
- Para
: (este é um polo de origem, que afeta a baixa frequência) - Para
: rad/s - Para
: rad/s
Passo 4
Vamos construir o diagrama de magnitude. Começamos plotando o ganho em decibéis (dB) em função da frequência
.
Regras básicas para a magnitude:
- Cada polo contribui com uma queda de -20 dB/decade após sua frequência de corte.
- Antes da frequência de corte, a contribuição do polo é constante.
Vamos adicionar a contribuição de cada polo uma por vez.
Passo 5
Primeiro, consideramos o polo em
. Este é um polo especial, conhecido como polo de origem, que faz com que o ganho inicial seja -20 dB/decade já na frequência
.
Passo 6
Em seguida, adicionamos o polo em
. A partir de
rad/s, a inclinação da magnitude muda para -40 dB/decade (cada polo adiciona -20 dB/decade).
Passo 7
Por último, adicionamos o polo em
. A partir de
rad/s, a inclinação da magnitude fica -60 dB/decade.
Passo 8
Agora, vamos construir o diagrama de fase. A fase total é a soma das contribuições de fase de cada polo.
Regras básicas para a fase:
- Cada polo contribui com uma queda de fase de -90 graus em torno da sua frequência de corte.
- A fase de cada polo começa a cair aproximadamente uma década antes da frequência de corte e termina a queda cerca de uma década depois.
Vamos somar as contribuições de fase de cada polo.
Passo 9
Cada polo contribui com -90 graus. Como temos três polos, a fase total no diagrama de Bode será:
Isso significa que, no diagrama assintótico, a fase começará a cair antes das frequências de corte e atingirá -270 graus após todas as contribuições de fase.
Resposta
Os diagramas de Bode assintóticos para a função de transferência
possuem:
-
Diagrama de Magnitude:
- Inicia com uma inclinação de -20 dB/decade devido ao polo em
. - A partir de
rad/s, a inclinação se torna -40 dB/decade. - A partir de
rad/s, a inclinação alcança -60 dB/decade.
- Inicia com uma inclinação de -20 dB/decade devido ao polo em
-
Diagrama de Fase:
- A fase total atinge -270 graus, com contribuições de -90 graus de cada polo.
Esses diagramas representam a resposta em frequência assintótica da função de transferência dada.