Esboce os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase de cada uma das funções de transferência: G(s)=1s(s+2)(s+4)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para esboçar os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase para a função de transferência .
Matéria envolvida: Diagramas de Bode, que são usados para analisar a resposta em frequência de sistemas de controle.
O que precisamos:
  • Identificar os polos da função de transferência.
  • Determinar as frequências de corte (break frequencies).
  • Aplicar as regras básicas para construir os diagramas assintóticos de magnitude e fase.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função de transferência s(s + 2)(s + 4) = 0 . Os polos são os valores de que fazem o denominador igual a zero.
Então, os polos são:
Esses polos determinam as frequências de corte nos diagramas de Bode.

Passo 3

Agora, vamos determinar as frequências de corte ( ) correspondentes a cada polo. Para um polo em , a frequência de corte é .
Então, temos:
  • Para : (este é um polo de origem, que afeta a baixa frequência)
  • Para : rad/s
  • Para : rad/s

Passo 4

Vamos construir o diagrama de magnitude. Começamos plotando o ganho em decibéis (dB) em função da frequência .
Regras básicas para a magnitude:
  • Cada polo contribui com uma queda de -20 dB/decade após sua frequência de corte.
  • Antes da frequência de corte, a contribuição do polo é constante.
Vamos adicionar a contribuição de cada polo uma por vez.

Passo 5

Primeiro, consideramos o polo em . Este é um polo especial, conhecido como polo de origem, que faz com que o ganho inicial seja -20 dB/decade já na frequência .

Passo 6

Em seguida, adicionamos o polo em . A partir de rad/s, a inclinação da magnitude muda para -40 dB/decade (cada polo adiciona -20 dB/decade).

Passo 7

Por último, adicionamos o polo em . A partir de rad/s, a inclinação da magnitude fica -60 dB/decade.

Passo 8

Agora, vamos construir o diagrama de fase. A fase total é a soma das contribuições de fase de cada polo.
Regras básicas para a fase:
  • Cada polo contribui com uma queda de fase de -90 graus em torno da sua frequência de corte.
  • A fase de cada polo começa a cair aproximadamente uma década antes da frequência de corte e termina a queda cerca de uma década depois.
Vamos somar as contribuições de fase de cada polo.

Passo 9

Cada polo contribui com -90 graus. Como temos três polos, a fase total no diagrama de Bode será:
Fase total = -90^circ times 3 = -270^circ
Isso significa que, no diagrama assintótico, a fase começará a cair antes das frequências de corte e atingirá -270 graus após todas as contribuições de fase.

Resposta

Os diagramas de Bode assintóticos para a função de transferência possuem:
  • Diagrama de Magnitude:
    • Inicia com uma inclinação de -20 dB/decade devido ao polo em .
    • A partir de rad/s, a inclinação se torna -40 dB/decade.
    • A partir de rad/s, a inclinação alcança -60 dB/decade.
  • Diagrama de Fase:
    • A fase total atinge -270 graus, com contribuições de -90 graus de cada polo.
Esses diagramas representam a resposta em frequência assintótica da função de transferência dada.

Exercícios relacionados