Esboce os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase de cada uma das funções de transferência: G(s)=2(s+5)(s+1)(s+3)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente “esboçar os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e fase” da função
G(s)=2,(s+5)(s+1)(s+3)
Conteúdo envolvido:
  • Como encontrar polos e zeros de uma FT.
  • Como escrever em forma normalizada .
  • Como montar o diagrama de magnitude em decibéis (dB) usando as inclinações em ±20 dB/década por polo/zero.
  • Como montar o diagrama de fase assintótico atribuindo ±90° em cada canto.
Pra resolver isso vamos precisar:
  1. Colocar na forma .
  2. Identificar , (zero) e (polos).
  3. Calcular ganho em baixas freq. em dB e definir as inclinações entre as frequências de canto.
  4. Fazer a fase assintótica com saltos de ±90° em cada frequência de canto.

Passo 2

Vamos escrever G(s)=2,s+5(s+1)(s+3) =2;5,(1+s5)1cdot3,(1+s1)(1+s3) =103;1+s5l(1+s1r),l(1+s3r) na forma normalizada. Primeiro fatoramos:
Logo:
  • Ganho estático .
  • Zero em  rad/s.
  • Polos em  rad/s e  rad/s.

Passo 3

Magnitude em dB:
  1. Ganho em 20log10!l(tfrac103r)approx 20log10(3,33)approx 10,46;dB :
  2. Cada polo traz –20 dB/déc em sua frequência de canto, cada zero traz +20 dB/déc.
    • Para : sem polos ou zeros atuando ainda ⇒ inclinação 0 dB/déc, nível 10,46 dB.
    • Em entra o polo a partir daí –20 dB/déc.
    • Em entra o segundo polo a partir daí –40 dB/déc (somando os dois).
    • Em entra o zero soma +20 dB/déc, ficando –20 dB/déc depois de 5.
Se quiser pontos de referência:
  • Em ,  dB.
  • Em ,  dB.
  • Em ,  dB.

Passo 4

Fase assintótica:
  • Cada polo adiciona –90° a partir de sua frequência de canto.
  • Cada zero adiciona +90° a partir de sua frequência de canto.
    Montamos degraus assumindo salto vertical exato em cada :
  1. Para : nenhum polo/zero “ativo” ⇒ φ=0°.
  2. Em : polo 1 ⇒ caímos para φ=–90°.
  3. Em : polo 2 ⇒ φ=–180°.
  4. Em : zero ⇒ subimos para φ=–90°.
Assim, a fase assintótica é um “degrau” 0° → –90° → –180° → –90° nos cantos 1, 3 e 5 rad/s.

Resposta

Magnitude (dB), assintótica:
  • ω<1 rad/s: 10,46 dB, inclinação 0 dB/déc.
  • 1<ω<3 rad/s: inclinação –20 dB/déc.
  • 3<ω<5 rad/s: inclinação –40 dB/déc.
  • ω>5 rad/s: inclinação –20 dB/déc.
Fase, assintótica:
  • ω<1 rad/s: 0°.
  • 1<ω<3 rad/s: –90°.
  • 3<ω<5 rad/s: –180°.
  • ω>5 rad/s: –90°.

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