Esboce os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase de cada uma das funções de transferência:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente “esboçar os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e fase” da função
Conteúdo envolvido:
- Como encontrar polos e zeros de uma FT.
- Como escrever em forma normalizada
. - Como montar o diagrama de magnitude em decibéis (dB) usando as inclinações em ±20 dB/década por polo/zero.
- Como montar o diagrama de fase assintótico atribuindo ±90° em cada canto.
Pra resolver isso vamos precisar:
- Colocar
na forma . - Identificar
, (zero) e (polos). - Calcular ganho em baixas freq. em dB e definir as inclinações entre as frequências de canto.
- Fazer a fase assintótica com saltos de ±90° em cada frequência de canto.
Passo 2
Vamos escrever
na forma normalizada. Primeiro fatoramos:
Logo:
- Ganho estático
. - Zero em
rad/s. - Polos em
rad/s e rad/s.
Passo 3
Magnitude em dB:
- Ganho em
: - Cada polo traz –20 dB/déc em sua frequência de canto, cada zero traz +20 dB/déc.
- Para
: sem polos ou zeros atuando ainda ⇒ inclinação 0 dB/déc, nível 10,46 dB. - Em
entra o polo a partir daí –20 dB/déc. - Em
entra o segundo polo a partir daí –40 dB/déc (somando os dois). - Em
entra o zero soma +20 dB/déc, ficando –20 dB/déc depois de 5.
- Para
Se quiser pontos de referência:
- Em
, dB. - Em
, dB. - Em
, dB.
Passo 4
Fase assintótica:
- Cada polo adiciona –90° a partir de sua frequência de canto.
- Cada zero adiciona +90° a partir de sua frequência de canto.
Montamos degraus assumindo salto vertical exato em cada:
- Para
: nenhum polo/zero “ativo” ⇒ φ=0°. - Em
: polo 1 ⇒ caímos para φ=–90°. - Em
: polo 2 ⇒ φ=–180°. - Em
: zero ⇒ subimos para φ=–90°.
Assim, a fase assintótica é um “degrau” 0° → –90° → –180° → –90° nos cantos 1, 3 e 5 rad/s.
Resposta
Magnitude (dB), assintótica:
- ω<1 rad/s: 10,46 dB, inclinação 0 dB/déc.
- 1<ω<3 rad/s: inclinação –20 dB/déc.
- 3<ω<5 rad/s: inclinação –40 dB/déc.
- ω>5 rad/s: inclinação –20 dB/déc.
Fase, assintótica:
- ω<1 rad/s: 0°.
- 1<ω<3 rad/s: –90°.
- 3<ω<5 rad/s: –180°.
- ω>5 rad/s: –90°.