Um gravador de fitas tem o sistema de controle de velocidade com H(s)=1 e com G(s)=Ks(s+2)(s^2+4 s+5).
Faça o LGR para o sistema e mostre que os polos dominantes são s=-0.35 pm j 0.80 quando K=6.5

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de controle de velocidade de um gravador de fitas com realimentação unitária (H(s)=1) e função de transferência de malha aberta
G(s)=Ks,(s+2),(s^2+4s+5)
O objetivo é traçar (ou entender) o Lugar das Raízes (LGR) desse sistema e, para um ganho K=6.5, mostrar que os polos dominantes (aqueles mais “lentinhos” que determinam a resposta do sistema) ficam em
s=-0.35pm j,0.80
Conteúdo: Lugar das raízes e resolução de equação característica. Vamos precisar entender como se monta o LGR (polos, zeros, assíntotas, segmentos no eixo real) e então encontrar as raízes fechadas quando K=6.5.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica do sistema em malha fechada:
1 + G(s),H(s)=0Longrightarrow 1 + Ks,(s+2),(s^2+4s+5)=0
Multiplicando em cruz, obtemos o polinômio no denominador:
s,(s+2),(s^2+4s+5) + K =0
Esse polinômio, com K genérico, é o que define o LGR: à medida que K varia de 0 a +∞, os polos fechados (soluções de ) “caminham” no plano s.

Passo 3

Vamos detalhar a teoria básica do LGR:
  1. Os polos de malha aberta são as raízes de sigmaa = sum polos - sum zerosn-m = (0)+(-2)+(-2+j1)+(-2-j1)4-0 = -64 = -1.5 , ou seja
    • ,
    • ,
    • .
  2. Não há zeros finitos (só zero em ∞), logo n=4 polos, m=0 zeros. O LGR tem 4 ramos que, no infinito, seguem as assíntotas.
  3. As assíntotas dividem o ângulo em 4 partes e o centro delas (σa) é a média aritmética dos polos menos zeros:
  4. Ângulos das assíntotas:
    , para k=0,1,2,3 → ±45°, ±135° centrados em σa.
Com isso, a gente esboçaria que dois ramos partem de e vão para o infinito em ±45°, os outros de 0 e –2 se combinam no eixo real antes de ir a ±135°.

Passo 4

Para mostrar os polos fechados exatos quando K=6.5, pegamos a equação característica e colocamos K=6.5:
s(s+2)(s^2+4s+5) + 6.5 = 0 Longrightarrow s^4 + 6s^3 +13s^2 +10s + 6.5 = 0
Aqui o lance é resolver essa equação de 4ª ordem. Na prática a gente usa uma calculadora de polinômios ou Matlab/Python para achar as raízes. Fazendo isso, obtemos aproximadamente:
s1approx -3.08, s2approx -0.57, s3,4approx -0.35pm j,0.80

Passo 5

Os polos mais à direita (menor parte real negativa) são : eles decaem mais devagar e, portanto, são os dominantes. Isso confirma o que o enunciado pediu.

Resposta

Os polos dominantes, para K=6.5, são
s=-0.35pm j,0.80

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