Um gravador de fitas tem o sistema de controle de velocidade com
e
.
Faça o LGR para o sistema e mostre que os polos dominantes são
quando
Faça o LGR para o sistema e mostre que os polos dominantes são
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de controle de velocidade de um gravador de fitas com realimentação unitária (H(s)=1) e função de transferência de malha aberta
O objetivo é traçar (ou entender) o Lugar das Raízes (LGR) desse sistema e, para um ganho K=6.5, mostrar que os polos dominantes (aqueles mais “lentinhos” que determinam a resposta do sistema) ficam em
Conteúdo: Lugar das raízes e resolução de equação característica. Vamos precisar entender como se monta o LGR (polos, zeros, assíntotas, segmentos no eixo real) e então encontrar as raízes fechadas quando K=6.5.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica do sistema em malha fechada:
Multiplicando em cruz, obtemos o polinômio no denominador:
Esse polinômio, com K genérico, é o que define o LGR: à medida que K varia de 0 a +∞, os polos fechados (soluções de
) “caminham” no plano s.
Passo 3
Vamos detalhar a teoria básica do LGR:
- Os polos de malha aberta são as raízes de
, ou seja -
, -
, -
.
-
- Não há zeros finitos (só zero em ∞), logo n=4 polos, m=0 zeros. O LGR tem 4 ramos que, no infinito, seguem as assíntotas.
- As assíntotas dividem o ângulo
em 4 partes e o centro delas (σa) é a média aritmética dos polos menos zeros: - Ângulos das assíntotas:
, para k=0,1,2,3 → ±45°, ±135° centrados em σa.
Com isso, a gente esboçaria que dois ramos partem de
e vão para o infinito em ±45°, os outros de 0 e –2 se combinam no eixo real antes de ir a ±135°.
Passo 4
Para mostrar os polos fechados exatos quando K=6.5, pegamos a equação característica e colocamos K=6.5:
Aqui o lance é resolver essa equação de 4ª ordem. Na prática a gente usa uma calculadora de polinômios ou Matlab/Python para achar as raízes. Fazendo isso, obtemos aproximadamente:
Passo 5
Os polos mais à direita (menor parte real negativa) são
: eles decaem mais devagar e, portanto, são os dominantes. Isso confirma o que o enunciado pediu.
Resposta
Os polos dominantes, para K=6.5, são