Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar os diagramas de Bode (magnitude em dB e fase em graus) de forma assintótica da função
.
Conteúdo: resposta em frequência, diagramas de Bode, soma de contribuições de zeros e polos.
Vamos precisar:
Conteúdo: resposta em frequência, diagramas de Bode, soma de contribuições de zeros e polos.
Vamos precisar:
- Identificar zeros e polos (pólos simples em 1 rad/s e 10 rad/s, um par complexo em wn=50 rad/s com ζ=0,02 e um zero na origem).
- Lembrar que cada zero de primeira ordem dá +20 dB/dec e +90°; cada polo simples dá –20 dB/dec e –90°; o par de pólos de segunda ordem dá –40 dB/dec e –180° (fase em zona de canto).
- Montar as retas-sombra e depois somar as fases de cada fator.
Passo 2
Fatoração e identificação:
H(s)=
zero na origem:
× polos simples: em ω=1,
em ω=10
× par de pólos de 2ª ordem: → wn=50, ζ=2/(2·50)=0,02
H(s)=
zero na origem:
× polos simples:
× par de pólos de 2ª ordem:
Contribuições individuais:
- Zero em s=0 → magnitude 20·log ω, fase = +90° (constante).
- Polo em s=–1 → magnitude –20·log(ω/1) para ω>1, fase de 0→–90° entre 0.1 e 10.
- Polo em s=–10 → magnitude –20·log(ω/10) para ω>10, fase de 0→–90° entre 1 e 100.
- Polo 2ª ordem wn=50 → magnitude 0 dB abaixo de 50, depois –40 dB/dec; fase de 0→–180° entre ω=5 e ω=500.
Passo 3
Diagrama de magnitude (retas assintóticas):
- Para ω<1: só o zero na origem conta → slope +20 dB/dec (reta começando em –∞ até ω=1).
- Em ω=1: entra o primeiro polo → slope passa a +20–20=0 (reta horizontal) até ω=10.
- Em ω=10: entra o segundo polo → slope 0–20=–20 dB/dec até ω=50.
- Em ω=50: entram os dois pólos do par de 2ª ordem → slope final –20–40=–60 dB/dec para ω>50.
Pontos de canto: ω=1, ω=10, ω=50.
Passo 4
Diagrama de fase (reta-sombra aproximada):
Some as quatro fases:
Some as quatro fases:
- Zero na origem: +90° constante.
- Polo em 1: fase vai de 0° (em ω=0.1) a –90° (em ω=10), com –45° em ω=1.
- Polo em 10: fase de 0° (em ω=1) a –90° (em ω=100), com –45° em ω=10.
- Par 2ª ordem (wn=50): fase de 0° (em ω=5) a –180° (em ω=500), com –90° em ω=50.
Somando ponto a ponto:
- ω≪1: φ≈90°
- em ω=1: φ≈90–45=+45°
- entre 1 e 10 (tipo em ω=5): φ≈90–90=0°
- em ω=10: φ≈90–90–45=–45°
- entre 10 e 50 (ex ω=30): φ≈90–180=–90°
- em ω=50: φ≈90–180–90=–180°
- ω≫50: φ≈90–90–90–180=–270°
Resposta
Magnitude assintótica:
• 20 dB/dec para ω<1
• 0 dB/dec para 1<ω<10
• –20 dB/dec para 10<ω<50
• –60 dB/dec para ω>50
• 20 dB/dec para ω<1
• 0 dB/dec para 1<ω<10
• –20 dB/dec para 10<ω<50
• –60 dB/dec para ω>50
Fase assintótica aproximada:
• φ≈+90° para ω≪1
• φ passa por +45° em ω=1
• φ≈0° entre ω≈1 e ω≈10
• φ≈–45° em ω=10
• φ≈–90° entre ω≈10 e ω≈50
• φ≈–180° em ω=50
• φ tende a –270° para ω≫50
• φ≈+90° para ω≪1
• φ passa por +45° em ω=1
• φ≈0° entre ω≈1 e ω≈10
• φ≈–45° em ω=10
• φ≈–90° entre ω≈10 e ω≈50
• φ≈–180° em ω=50
• φ tende a –270° para ω≫50