Esboce os diagramas fasoriais das correntes e tensões para os seguintes circuitos:
Circuito puramente indutivo.

Passo 1

O enunciado pede que se esbocem os diagramas fasoriais das correntes e tensões para um circuito puramente indutivo. Informações/dados implícitos que vou usar (sem te perguntar nada):
  • Trata-se de regime estacionário senoidal (isso é o que “diagrama fasorial” normalmente implica).
  • Há um indutor ideal com indutância \,L.
  • Existe uma tensão ou corrente senoidal aplicada ao indutor com pulsação \,\omega.
  • Não foram dadas amplitudes numéricas, então vou apresentar a relação geral e um exemplo numérico ilustrativo.

Passo 2

O que é um fasor e por que usamos isso aqui (aula rápida e sem enrolação).
  • Um sinal senoidal no tempo pode ser escrito como \,v(t)=V_m\cos(\omega t+\phi_v) ou \,i(t)=I_m\cos(\omega t+\phi_i).
  • Um fasor é a representação desse senoide como um número complexo que guarda amplitude e fase: por exemplo \,\tilde{V}=V\angle\phi_v e \,\tilde{I}=I\angle\phi_i. Aqui eu uso a mesma amplitude (pico) ou valor eficaz, desde que seja consistente.
  • Na transformação fasorial, a operação de derivar em tempo vira multiplicar por j\omega (porque \dfrac{d}{dt}e^{j\omega t}=j\omega e^{j\omega t}). O j representa uma defasagem de +90^\circ (ou rotação de +\tfrac{\pi}{2} rad).
  • Para um indutor ideal vale a lei no tempo: \,v(t)=L\,\dfrac{di(t)}{dt}.
  • Em fasores essa lei vira:
\tilde{V}=j\omega L\,\tilde{I}.
Expliquei cada símbolo:
  • \tilde{V} é o fasor da tensão no indutor.
  • \tilde{I} é o fasor da corrente pelo indutor.
  • \omega é a pulsação da fonte (rad/s).
  • L é a indutância (H).
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e corresponde a uma rotação de +90^\circ.

Passo 3

Interpretação geométrica da relação \,\tilde{V}=j\omega L\,\tilde{I}.
  • O fator escalar \omega L só ajusta a magnitude (comprimento do vetor).
  • O fator j rotaciona o fasor \tilde{I} em +90^\circ.
  • Logo a tensão no indutor lidera a corrente em exatamente 90^\circ.
    Matematicamente, se escolhermos a corrente como referência, isto é
\tilde{I}=I\angle 0^\circ,
então
\tilde{V}= \omega L I \angle 90^\circ.
Se, alternativamente, escolhermos a tensão como referência \tilde{V}=V\angle 0^\circ, então a corrente é
\tilde{I}=\frac{V}{\omega L}\angle -90^\circ.

Passo 4

Como esboçar o diagrama fasorial (passo-a-passo prático para a prova).
  • Desenha dois eixos perpendiculares: eixo real (horizontal) e eixo imaginário (vertical).
  • Opção A — tomar \tilde{I} como referência:
    1. Coloca \tilde{I} ao longo do eixo real positivo (um vetor para a direita).
    2. Coloca \tilde{V} com mesmo comprimento relativo multiplicado por \omega L, mas apontando para cima (eixo imaginário positivo), ou seja, \,90^\circ à frente de \tilde{I}.
  • Opção B — tomar \tilde{V} como referência:
    1. Coloca \tilde{V} ao longo do eixo real positivo.
    2. Coloca \tilde{I} apontando para baixo (eixo imaginário negativo), ou seja, -90^\circ em relação a \tilde{V}.
  • Em qualquer desenho, marque claramente as magnitudes e o ângulo \pm 90^\circ.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (para ver números no desenho).
  • Suponha \omega L=10\\ \Omega e corrente eficaz \,I=2\\ \mathrm{A}.
  • Tomando \tilde{I}=2\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}, obtém-se
\tilde{V}=\omega L\,\tilde{I}=10\cdot 2\angle 0^\circ=20\angle 90^\circ\\ \mathrm{V}.
  • No plano complexo: \tilde{I}=(2,0) (coordenadas reais e imaginárias) e \tilde{V}=(0,20). Desenha \tilde{I} para a direita e \tilde{V} para cima, com ângulo entre eles de 90^\circ.

Passo 6

Ligação com as formas de onda no tempo (ajuda a entender o porquê do ângulo).
  • Se \,i(t)=I_m\cos(\omega t) (corrente em fase zero), então a tensão é
v(t)=L\frac{di}{dt}=L\cdot(-I_m\omega\sin(\omega t))=I_m\omega L\cos\!\left(\omega t+90^\circ\right).
  • Em palavras: a tensão atinge seu pico um quarto de período antes da corrente (tensão “lead” corrente por 90^\circ).
  • Consequência prática: a potência média absorvida por um indutor ideal é zero, porque a tensão e a corrente estão defasadas em 90^\circ (os produtos instantâneos têm média nula ao longo de um ciclo).

Resposta

A tensão no indutor \tilde{V} lidera a corrente \tilde{I} em 90^\circ. Tomando a corrente como referência:
\tilde{I}=I\angle 0^\circ,\qquad \tilde{V}=\omega L I\angle 90^\circ.
Alternativamente, tomando a tensão como referência:
\tilde{V}=V\angle 0^\circ,\qquad \tilde{I}=\frac{V}{\omega L}\angle -90^\circ.

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