Esboce o domínio e inverta a ordem de integração.
integral0^1 integrale^x-1^e^x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o domínio de integração da integral dupla e depois inverter a ordem de integração. Estamos lidando com integrais duplas aqui, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras grandezas sobre uma região no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e depois redesenhar essa região para trocar a ordem de dx e dy.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração atuais:
  • O integrais externo vai de x = 0 até x = 1.
  • Para cada valor de x, o integral interno em y vai de y = e^x-1 até y = e^x.
Então, a região de integração no plano (x, y) é definida por:
0 <= x <= 1
e^x-1 <= y <= e^x

Passo 3

Agora, vamos esboçar essa região para visualizar melhor. Vamos traçar as curvas que definem y = e^x-1 e y = e^x no intervalo de x de 0 a 1.
  • Para x = 0:
    • y = e^-1 approx 0,3679
    • y = e^0 = 1
  • Para x = 1:
    • y = e^0 = 1
    • y = e^1 approx 2,7183
Essas duas curvas são exponentes que crescem com x. Portanto, a região de integração está entre y = e^x-1 e y = e^x, de x = 0 a x = 1.

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de modo que y seja a variável externa e x a interna. Isso significa que devemos encontrar, para cada y, quais são os valores correspondentes de x.
Observando as equações das curvas:
y = e^x-1 Rightarrow x = ln(y) + 1
y = e^x Rightarrow x = ln(y)
Agora, vamos determinar os limites de y. Vemos que quando x varia de 0 a 1:
  • O menor valor de y é e^-1 approx 0,3679.
  • O maior valor de y é e^1 approx 2,7183.
Então, y varia de e^-1 até e^1.
Para cada y nesse intervalo, x varia de ln(y) até ln(y) + 1.

Passo 5

Com isso, podemos reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida. A nova integral fica:
integrale^-1^e^1 integralln(y)^ln(y) + 1 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integrale^-1^e^1 integralln(y)^ln(y) + 1 f(x, y) , dx , dy

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