Esboce, encontre a equação cartesiana e classifique as seguintes curvas:
r=2 \cos (2 \theta) (Dica: use a identidade \cos (2 \theta)=\cos ^{2}(\theta)-\sin ^{2}(\theta) )

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r = 2\cos(2\theta)
e pede três coisas:
  • Esboçar a curva (fazer um desenho/descrição do formato).
  • Encontrar a equação cartesiana que representa a mesma curva (eliminar r e \theta).
  • Classificar a curva (que tipo de curva é, simetrias, número de pétalas, comprimento etc).
Dado extra no enunciado: a identidade
\cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta).

Passo 2

Vamos lembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas — isso é essencial para eliminar r e \theta. Estas são fórmulas padrão; explico cada uma:
  • x e y são as coordenadas no plano cartesiano; r e \theta são as coordenadas polares (distância ao origem e ângulo).
  • Relações: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.Isso significa que \cos\theta = \dfrac{x}{r} e \sin\theta = \dfrac{y}{r} (quando r\neq 0).
  • Também vale r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Essas relações são usadas normalmente para transformar uma equação em coordenadas polares numa equação em x e y.

Passo 3

Usar a identidade sugerida para escrever \cos(2\theta) em termos de \cos\theta e \sin\theta, e depois em termos de x,y.
Pela identidade dada:
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Substituindo \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \sin\theta=\dfrac{y}{r} obtemos
\cos(2\theta)=\left(\frac{x}{r}\right)^{2}-\left(\frac{y}{r}\right)^{2}=\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.

Passo 4

Agora substituímos essa expressão em r=2\cos(2\theta):
r=2\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r^{2} (e lembrando que isso exige r adequado, mas depois tratamos a forma final) obtemos
r^{3}=2(x^{2}-y^{2}).
Como r^{2}=x^{2}+y^{2}, podemos escrever r^{3}=r\cdot r^{2}=r(x^{2}+y^{2}). Substituindo uma vez mais r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (a raiz principal não-negativa), uma forma direta cartesiana é
\boxed{(x^{2}+y^{2})^{3/2}=2(x^{2}-y^{2}).}
Essa é uma equação implícita em x,y equivalente à original polar (com a convenção usual de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}).

Passo 5

É comum também apresentar a equação completamente livre de radicais (polinomial) elevando ambos os lados ao quadrado. Elevando a equação do Passo 4 ao quadrado obtemos
(x^{2}+y^{2})^{3}=4(x^{2}-y^{2})^{2}.
Essa é uma forma cartesiana polinomial equivalente (observação: ao elevar ao quadrado pode-se introduzir soluções espúrias que correspondem a sinais de r; entretanto, aqui essa forma polinomial é usada apenas como expressão algebrica equivalente para descrever a curva implicitamente).

Passo 6

Classificação da curva e análise das simetrias e dos pontos principais (para fazer o esboço).
  • Tipo: é uma “rosa” (rose curve) dada pela forma geral r=a\cos(n\theta). Para n=2 (par) obtemos 2n=4 pétalas. Portanto a curva tem 4 pétalas — é um quadrifólio.
  • Amplitude (tamanho de cada pétala): o valor máximo de |r| é |2|, então as pétalas se estendem até distância 2 da origem.
  • Direções das pétalas:
    • Máximos positivos: \cos(2\theta)=1 quando 2\theta=0,2\pi,\dots ou seja \theta=0,\pi. Nesses ângulos r=2, então há pétalas alcançando os pontos (2,0) e (-2,0) — pétalas ao longo do eixo x.
    • Quando \cos(2\theta)=-1 (ou seja 2\theta=\pi,3\pi,\dots ou \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}), então r=-2. Valor negativo de r corresponde a um ponto na direção oposta ( \theta+\pi) com r=2, isto é, isso gera as pétalas ao longo do eixo y: pontos (0,2) e (0,-2).
    • Zeros (a curva volta à origem) ocorrem quando \cos(2\theta)=0, isto é 2\theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2},\dots ou \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\dots. Esses ângulos estão nas diagonais de 45^\circ, dividindo as pétalas.
  • Simetrias: simétrica em relação aos eixos x e y e também simétrica por rotação de 90^\circ (graças ao termo 2\theta e à função cosseno par).
  • Resumo para esboço: desenhar os eixos, marcar os pontos (\pm2,0) e (0,\pm2), e traçar quatro pétalas simétricas que saem da origem e atingem esses pontos, com as pétalas tendo zeros nas direções \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4} (linhas a 45°).

Passo 7

Instruções práticas para esboçar (passo a passo rápido para a prova):
  1. Faça os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2).
  3. Marque as direções nulas em 45^\circ (linhas \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\dots) onde a curva passa pela origem.
  4. Entre cada par de zeros, desenhe uma pétala que parte da origem e cresce até o ponto marcado no eixo correspondente; as pétalas são suaves e simétricas.
  5. Verifique simetria: as quatro pétalas têm mesmo tamanho e forma.

Resposta

Esboço: quatro pétalas simétricas (quadrifólio), com pétalas apontando para (\pm2,0) e (0,\pm2).
Equação cartesiana: (x^{2}+y^{2})^{3/2}=2(x^{2}-y^{2}); (equivalente polinomial (x^{2}+y^{2})^{3}=4(x^{2}-y^{2})^{2}).
Classificação: rosa (curve de tipo r=a\cos(n\theta)) com 4 pétalas, amplitude 2, simetria nos eixos x e y.

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