Esboce, encontre a equação cartesiana e classifique as seguintes curvas:
(Dica: use a identidade
)
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede três coisas:
- Esboçar a curva (fazer um desenho/descrição do formato).
- Encontrar a equação cartesiana que representa a mesma curva (eliminar
e ). - Classificar a curva (que tipo de curva é, simetrias, número de pétalas, comprimento etc).
Dado extra no enunciado: a identidade
Passo 2
Vamos lembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas — isso é essencial para eliminar
e
. Estas são fórmulas padrão; explico cada uma:
-
e são as coordenadas no plano cartesiano; e são as coordenadas polares (distância ao origem e ângulo). - Relações:
Isso significa que e (quando ). - Também vale
Essas relações são usadas normalmente para transformar uma equação em coordenadas polares numa equação em
e
.
Passo 3
Usar a identidade sugerida para escrever
em termos de
e
, e depois em termos de
.
Pela identidade dada:
Pela identidade dada:
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Agora substituímos essa expressão em
:
Multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que isso exige
adequado, mas depois tratamos a forma final) obtemos
Como
, podemos escrever
. Substituindo uma vez mais
(a raiz principal não-negativa), uma forma direta cartesiana é
Essa é uma equação implícita em
equivalente à original polar (com a convenção usual de
).
Passo 5
É comum também apresentar a equação completamente livre de radicais (polinomial) elevando ambos os lados ao quadrado. Elevando a equação do Passo 4 ao quadrado obtemos
Essa é uma forma cartesiana polinomial equivalente (observação: ao elevar ao quadrado pode-se introduzir soluções espúrias que correspondem a sinais de
; entretanto, aqui essa forma polinomial é usada apenas como expressão algebrica equivalente para descrever a curva implicitamente).
Passo 6
Classificação da curva e análise das simetrias e dos pontos principais (para fazer o esboço).
- Tipo: é uma “rosa” (rose curve) dada pela forma geral
. Para (par) obtemos pétalas. Portanto a curva tem 4 pétalas — é um quadrifólio. - Amplitude (tamanho de cada pétala): o valor máximo de
é , então as pétalas se estendem até distância da origem. - Direções das pétalas:
- Máximos positivos:
quando ou seja . Nesses ângulos , então há pétalas alcançando os pontos e — pétalas ao longo do eixo . - Quando
(ou seja ou ), então . Valor negativo de corresponde a um ponto na direção oposta ( ) com , isto é, isso gera as pétalas ao longo do eixo : pontos e . - Zeros (a curva volta à origem) ocorrem quando
, isto é ou . Esses ângulos estão nas diagonais de , dividindo as pétalas.
- Máximos positivos:
- Simetrias: simétrica em relação aos eixos
e e também simétrica por rotação de (graças ao termo e à função cosseno par). - Resumo para esboço: desenhar os eixos, marcar os pontos
e , e traçar quatro pétalas simétricas que saem da origem e atingem esses pontos, com as pétalas tendo zeros nas direções (linhas a 45°).
Passo 7
Instruções práticas para esboçar (passo a passo rápido para a prova):
- Faça os eixos
e . - Marque os pontos
. - Marque as direções nulas em
(linhas ) onde a curva passa pela origem. - Entre cada par de zeros, desenhe uma pétala que parte da origem e cresce até o ponto marcado no eixo correspondente; as pétalas são suaves e simétricas.
- Verifique simetria: as quatro pétalas têm mesmo tamanho e forma.
Resposta
Esboço: quatro pétalas simétricas (quadrifólio), com pétalas apontando para
e
.
Equação cartesiana: ; (equivalente polinomial
).
Classificação: rosa (curve de tipo ) com 4 pétalas, amplitude
, simetria nos eixos
e
.
Equação cartesiana:
Classificação: rosa (curve de tipo