Resolva as seguintes integrais impróprias, indicando explicitamente se são convergentes ou divergentes:
\int_{-\infty}^{0} x \operatorname{cosh} (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria e decidir se ela converge ou diverge:
\int_{-\infty}^{0} x\operatorname{cosh}(x)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integral é imprópria porque o limite inferior é -\infty.
  • A função integrando é x\operatorname{cosh}(x). Note que \operatorname{cosh}(x)>0 para todo x e, para x<0, o fator x é negativo, então o integrando é negativo em toda a região de integração.

Passo 2

Definição da integral imprópria que vamos usar: calcular
\int_{-\infty}^{0} x\operatorname{cosh}(x)\,dx=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x\operatorname{cosh}(x)\,dx.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; se o limite não existe ou é \pm\infty, a integral diverge.

Passo 3

Vamos encontrar uma antiderivada de x\operatorname{cosh}(x) usando integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv.
Escolho
u=x,\qquad dv=\operatorname{cosh}(x)\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\operatorname{sinh}(x),
porque \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x). Aplicando a fórmula:
\int x\operatorname{cosh}(x)\,dx = x\operatorname{sinh}(x) - \int \operatorname{sinh}(x)\,dx.
Uma primitiva de \operatorname{sinh}(x) é \operatorname{cosh}(x), pois \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x). Portanto
\int x\operatorname{cosh}(x)\,dx = x\operatorname{sinh}(x) - \operatorname{cosh}(x) + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida de a até 0 usando a antiderivada:
\int_{a}^{0} x\operatorname{cosh}(x)\,dx = \bigl[x\operatorname{sinh}(x)-\operatorname{cosh}(x)\bigr]_{x=a}^{x=0}.
Calculando os dois termos:
\text{em }x=0:\quad 0\cdot\operatorname{sinh}(0)-\operatorname{cosh}(0) = -1,
pois \operatorname{sinh}(0)=0 e \operatorname{cosh}(0)=1.
\text{em }x=a:\quad a\operatorname{sinh}(a)-\operatorname{cosh}(a).
Portanto
\int_{a}^{0} x\operatorname{cosh}(x)\,dx = -1 -\bigl(a\operatorname{sinh}(a)-\operatorname{cosh}(a)\bigr) = \operatorname{cosh}(a)-a\operatorname{sinh}(a)-1.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando a\to -\infty:
\lim_{a\to -\infty}\bigl(\operatorname{cosh}(a)-a\operatorname{sinh}(a)-1\bigr).
Para estudar esse limite, faça a mudança a=-t com t\to+\infty. Usando que \operatorname{cosh} é par e \operatorname{sinh} é ímpar:
\operatorname{cosh}(a)=\operatorname{cosh}(-t)=\operatorname{cosh}(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\sim\frac{e^{t}}{2},
\operatorname{sinh}(a)=\operatorname{sinh}(-t)=-\operatorname{sinh}(t)=-\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\sim -\frac{e^{t}}{2}.
Então, para t grande,
\operatorname{cosh}(a)-a\operatorname{sinh}(a)-1 \approx \frac{e^{t}}{2} -(-t)\Bigl(-\frac{e^{t}}{2}\Bigr)-1 = \frac{e^{t}}{2} - \frac{t e^{t}}{2}-1 = \frac{e^{t}}{2}(1-t)-1.
Quando t\to\infty a quantidade \frac{e^{t}}{2}(1-t) tende para -\infty porque o fator (1-t) é negativo e |1-t|e^{t} cresce sem limite. Logo
\lim_{a\to -\infty}\bigl(\operatorname{cosh}(a)-a\operatorname{sinh}(a)-1\bigr)=-\infty.

Passo 6

Como o limite da integral definida \int_{a}^{0} x\operatorname{cosh}(x)\,dx quando a\to -\infty é -\infty, concluímos que a integral imprópria não converge para um número finito. Em outras palavras, a integral diverge (mais precisamente, diverge para -\infty).

Resposta

Divergente (tende a -\infty).

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