Resolva as seguintes integrais impróprias, indicando explicitamente se são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria e decidir se ela converge ou diverge:
Informações dadas e observações iniciais:
- A integral é imprópria porque o limite inferior é
. - A função integrando é
. Note que para todo e, para , o fator é negativo, então o integrando é negativo em toda a região de integração.
Passo 2
Definição da integral imprópria que vamos usar: calcular
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; se o limite não existe ou é
, a integral diverge.
Passo 3
Vamos encontrar uma antiderivada de
usando integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
.
Escolho
Então
porque
. Aplicando a fórmula:
Uma primitiva de
é
, pois
. Portanto
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida de
até
usando a antiderivada:
Calculando os dois termos:
pois
e
.
Portanto
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Para estudar esse limite, faça a mudança
com
. Usando que
é par e
é ímpar:
Então, para
grande,
Quando
a quantidade
tende para
porque o fator
é negativo e
cresce sem limite. Logo
Passo 6
Como o limite da integral definida
quando
é
, concluímos que a integral imprópria não converge para um número finito. Em outras palavras, a integral diverge (mais precisamente, diverge para
).
Resposta
Divergente (tende a
).