Considere a função f(x, y)=-3 raizx^2+y^2. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,2,-6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = -3 raizx^2 + y^2 no ponto (0, 2, -6) . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais para determinar planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um plano tangente. Imagine que o gráfico da função f(x, y) é uma superfície no espaço. O plano tangente nesse ponto específico é como uma “folha” que toca a superfície exatamente naquele ponto e tem a mesma inclinação da superfície ali.
Para encontrar o plano tangente, usamos as derivadas parciais de f em relação a x e y . Essas derivadas nos dizem como a função muda quando movemos um pouquinho em cada direção.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) = -3 raizx^2 + y^2 .
A derivada parcial de f em relação a x , denotada por fx , é:
fx = partialpartial x ( -3 raizx^2 + y^2 ) = -3 cdot xraizx^2 + y^2
De maneira semelhante, a derivada parcial de f em relação a y , denotada por fy , é:
fy = partialpartial y ( -3 raizx^2 + y^2 ) = -3 cdot yraizx^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (0, 2) (ignorando o z por enquanto, pois ele já é dado como -6).
Calculando fx em (0, 2) :
fx(0, 2) = -3 cdot 0raiz0^2 + 2^2 = 0
Calculando fy em (0, 2) :
fy(0, 2) = -3 cdot 2raiz0^2 + 2^2 = -3 cdot 22 = -3

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que temos:
z - (-6) = 0 cdot (x - 0) + (-3) cdot (y - 2)
Simplificando:
z + 6 = -3(y - 2)
Distribuindo o -3:
z + 6 = -3y + 6

Resposta

A equação do plano tangente é z = -3y .

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