Considere a função
. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais para determinar planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um plano tangente. Imagine que o gráfico da função
é uma superfície no espaço. O plano tangente nesse ponto específico é como uma “folha” que toca a superfície exatamente naquele ponto e tem a mesma inclinação da superfície ali.
Para encontrar o plano tangente, usamos as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dizem como a função muda quando movemos um pouquinho em cada direção.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é:
De maneira semelhante, a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
(ignorando o z por enquanto, pois ele já é dado como -6).
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Distribuindo o -3:
Resposta
A equação do plano tangente é
.