Escreva a equação vetorial do plano π1 que contém os pontos:
\mathrm{A}(-1,2,5), \mathrm{B}(0,1,1) e \mathrm{C}(0,0,3)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial do plano \pi_1 que passa pelos pontos \mathrm{A}(-1,2,5), \mathrm{B}(0,1,1) e \mathrm{C}(0,0,3).
Para isso usamos o modelo
\vec r=\vec r_0 + s\,\vec v + t\,\vec w
onde \vec r_0 é um ponto conhecido no plano e \vec v,\vec w são dois vetores não colineares que definem direções no plano.

Passo 2

Escolhemos \vec r_0=\overrightarrow{OA}=\langle -1,2,5\rangle e calculamos dois vetores direção no plano:
\vec{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} =\langle 0-(-1),\,1-2,\,1-5\rangle =\langle 1,-1,-4\rangle,
\vec{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} =\langle 0-(-1),\,0-2,\,3-5\rangle =\langle 1,-2,-2\rangle.
Como \vec{AB} e \vec{AC} não são múltiplos um do outro, eles geram efetivamente um plano.

Passo 3

Substituindo em \vec r=\vec r_0 + s\,\vec{AB} + t\,\vec{AC}, obtemos a equação vetorial do plano:
\vec r =\langle -1,2,5\rangle + s\,\langle 1,-1,-4\rangle + t\,\langle 1,-2,-2\rangle.

Resposta

\vec r =\langle -1,2,5\rangle + s\,\langle 1,-1,-4\rangle + t\,\langle 1,-2,-2\rangle.

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