Esboce o gráfico de f e ache cada limite se existir:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x-1, x \leq 1 \\\\ 3-x, x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 3x-1, & x\le1,\\\\ 3-x, & x>1, \end{cases}
e pede que a gente esboce o gráfico e calcule os limites em x=1.

Passo 2

Para x\le1 temos f(x)=3x-1, que é uma reta de coeficiente angular 3 e intercepto -1. Em particular,
f(1)=3\cdot1-1=2,
então no ponto x=1 esse ramo gera um ponto cheio em (1,2).

Passo 3

Para x>1 temos f(x)=3-x, que é uma reta de coeficiente angular -1 e intercepto 3. Quando x\to1^+ essa expressão tende a
3-1=2,
mas como esse ramo não inclui x=1, no gráfico fica um círculo aberto em (1,2).

Passo 4

Esboço do gráfico:
  • Para x\le1 desenhe a reta subindo com inclinação 3 até o ponto cheio (1,2).
  • Para x>1 desenhe a reta descendo com inclinação -1 a partir de um círculo aberto em (1,2).

Passo 5

Cálculo dos limites em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(3x-1)=3\cdot1-1=2,
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(3-x)=3-1=2.
Como os dois unilaterais coincidem,
\lim_{x\to1}f(x)=2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=2,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=2,\quad \lim_{x\to1}f(x)=2.

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