Esboce o gráfico de f e ache cada limite se existir:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}, x \leq 1 \\\\ 3-x, x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{3}, & x\le1,\\\\ 3 - x, & x>1, \end{cases}
e pede dois itens: (i) esboçar o gráfico de f e (ii) calcular cada limite, quando existir.
O conteúdo envolvido é estudo de funções definidas por partes e limites laterais para verificar continuidade em x=1.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, dividimos em dois ramos:
  1. Para x\le1: f(x)=x^3. É a curva cúbica usual, que passa por (1,1). Marcamos esse ponto com ponto fechado pois inclui x=1.
  2. Para x>1: f(x)=3 - x. É uma reta de declive -1 que em x=1 vale 3-1=2. Em (1,2) colocamos ponto aberto e estendemos a reta para a direita.

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}x^3 =1^3 =1.

Passo 4

Calculamos o limite pela direita em x=1:
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(3 - x) =3 - 1 =2.

Passo 5

Como \lim_{x\to1^-}f(x)=1\neq2=\lim_{x\to1^+}f(x),
os limites laterais são diferentes, logo
\lim_{x\to1}f(x)\text{ não existe.}ã

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=1,\quad\lim_{x\to1^+}f(x)=2,\quad\lim_{x\to1}f(x)\text{ não existe.}ã

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