Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função racional
Esse é um exercício de análise de funções: domínio, simetrias, assíntotas, monotonicidade e concavidade para desenhar o esboço.
Passo 2
Primeiro, determinamos o domínio e as possíveis simetrias.
O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
Reescrevendo
vemos que
, ou seja,
é ímpar. Então basta estudar o ramo em
e espelhar para
.
Passo 3
Buscamos assíntotas.
Assíntota vertical: ocorre onde .
Assíntota vertical: ocorre onde
Assíntota oblíqua: para
,
então a reta
é assíntota oblíqua (mesma inclinação e mesmo coeficiente linear zero).
Passo 4
Calculamos a derivada primeira para estudar monotonicidade e extremos.
Zeramos para achar pontos críticos:
Sinal de
:
- Para
: implica (função decrescente). - Para
: implica (função crescente). - Para
: e denominador dá (decrescente). - Para
: dá (crescente).
Logo há mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 5
Agora a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão:
- Se
, então : concavidade para cima. - Se
, então : concavidade para baixo.
Não há ponto de inflexão no domínio pois não mudamos de sinal desem passar por .
Passo 6
Resumo dos elementos para o esboço:
- Domínio:
. - Simetria: ímpar (espelhar ramo positivo).
- Assíntota vertical:
. - Assíntota oblíqua:
. - Monotonicidade:
- Em
decrescente de até . - Em
crescente de aproximando-se de . - Em
crescente de assíntota até . - Em
decrescente de até .
- Concavidade:
- Para
, curva aberta para cima. - Para
, curva aberta para baixo.
- Interceptos: não existem interceptos com os eixos (nenhuma raiz e
não pertence).
Resposta
O esboço consiste em duas curvas desconectadas em
.
- Ramo direito
: começa em ao aproximar de , decresce até o ponto (mínimo local), depois cresce se aproximando cada vez mais da reta . A concavidade é para cima. - Ramo esquerdo
: é o espelho ímpar do ramo direito; começa próximo da reta em , cresce até (máximo local), depois decresce para ao aproximar de . A concavidade é para baixo.