Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
f(x)=\frac{1+x^{2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função racional
f(x) = \frac{1 + x^2}{x}
Esse é um exercício de análise de funções: domínio, simetrias, assíntotas, monotonicidade e concavidade para desenhar o esboço.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio e as possíveis simetrias.
O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x \neq 0\}.
Reescrevendo
f(x) = x + \frac{1}{x},
vemos que f(-x) = -x - \tfrac{1}{x} = -\bigl(x + \tfrac{1}{x}\bigr) = -f(x), ou seja, f é ímpar. Então basta estudar o ramo em x>0 e espelhar para x<0.

Passo 3

Buscamos assíntotas.
Assíntota vertical: ocorre onde x\to0.
\lim_{x\to0^+}f(x) = +\infty, \quad \lim_{x\to0^-}f(x) = -\infty.
Assíntota oblíqua: para x\to\pm\infty,
f(x) = x + \frac{1}{x} \sim x,
então a reta y = x é assíntota oblíqua (mesma inclinação e mesmo coeficiente linear zero).

Passo 4

Calculamos a derivada primeira para estudar monotonicidade e extremos.
f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}.
Zeramos para achar pontos críticos:
1 - \frac{1}{x^2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = 1 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1.
Sinal de f':
  • Para 0 < x < 1: x^2<1 implica f'(x)<0 (função decrescente).
  • Para x>1: x^2>1 implica f'(x)>0 (função crescente).
  • Para -1 < x < 0: x^2<1 e denominador x^2>0 f'(x)<0 (decrescente).
  • Para x< -1: x^2>1 f'(x)>0 (crescente).
Logo há mínimo local em x=1 e máximo local em x=-1.
f(1) = 1 + 1 = 2, \quad f(-1) = -1 - 1 = -2.

Passo 5

Agora a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão:
f''(x) = \frac{2}{x^3}.
  • Se x>0, então f''(x)>0: concavidade para cima.
  • Se x<0, então f''(x)<0: concavidade para baixo.
    Não há ponto de inflexão no domínio pois não mudamos de sinal de f'' sem passar por x=0.

Passo 6

Resumo dos elementos para o esboço:
  1. Domínio: x\neq0.
  2. Simetria: ímpar (espelhar ramo positivo).
  3. Assíntota vertical: x=0.
  4. Assíntota oblíqua: y=x.
  5. Monotonicidade:
  • Em (0,1) decrescente de +\infty até f(1)=2.
  • Em (1,\infty) crescente de 2 aproximando-se de y=x.
  • Em (-\infty,-1) crescente de assíntota y=x até f(-1)=-2.
  • Em (-1,0) decrescente de -2 até -\infty.
  1. Concavidade:
  • Para x>0, curva aberta para cima.
  • Para x<0, curva aberta para baixo.
  1. Interceptos: não existem interceptos com os eixos (nenhuma raiz e x=0 não pertence).

Resposta

O esboço consiste em duas curvas desconectadas em x=0.
  • Ramo direito (0,\infty): começa em +\infty ao aproximar de x=0^+, decresce até o ponto (1,2) (mínimo local), depois cresce se aproximando cada vez mais da reta y=x. A concavidade é para cima.
  • Ramo esquerdo (-\infty,0): é o espelho ímpar do ramo direito; começa próximo da reta y=x em -\infty, cresce até (-1,-2) (máximo local), depois decresce para -\infty ao aproximar de 0^-. A concavidade é para baixo.

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