Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}.
O conteúdo é esboço de função racional: vamos determinar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos, simetria e pontos de inflexão para depois desenhar o perfil da curva.

Passo 2

Determinar domínio e interceptos:
O domínio de f é todo \mathbb{R}, pois 1+x^{2}\neq0 para todo x.
Para o intercepto em y, calcule f(0):
f(0)=\frac{0}{1+0^{2}}=0.
Para o intercepto em x, resolva f(x)=0:
\frac{x}{1+x^{2}}=0\implies x=0.
Logo, a curva passa pela origem (0,0).

Passo 3

Identificar assíntotas:
Calcule \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x):
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{1+x^{2}} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}\;=\;0.
Portanto existe assíntota horizontal y=0,
à qual o gráfico se aproxima para |x| grandes.

Passo 4

Analisar monotonicidade e extremos locais:
Calcule a derivada
f'(x) =\frac{(1+x^{2})\cdot1 - x\cdot2x}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1 - x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
As raízes de f'(x)=0 são x=\pm1.
Para |x|<1, 1-x^{2}>0 logo f'(x)>0 (função crescente).
Para |x|>1, 1-x^{2}<0 logo f'(x)<0 (função decrescente).
Assim há um máximo local em x=1 e um mínimo local em x=-1:
f(1)=\frac{1}{1+1}= \tfrac12, \quad f(-1)=\frac{-1}{1+1}=-\tfrac12.

Passo 5

Examinar simetria e pontos de inflexão:
A função satisfaz
f(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^{2}}=-\frac{x}{1+x^{2}}=-f(x),
logo f é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
Para encontrar inflexões, calcule f''(x) e ache onde muda de sinal. O cálculo mostra que
f''(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Nestes pontos o gráfico troca de concavidade.

Passo 6

Esboçar o gráfico:
  • Passa por (0,0), cresce até (1,\tfrac12), depois decresce assintoticamente para y=0 quando x\to+\infty.
  • Simetricamente, decresce até ( -1,-\tfrac12), depois cresce em direção a y=0 quando x\to-\infty.
  • Há pontos de inflexão em x=\pm\sqrt3, com ordens de concavidade trocando ali.

Resposta

O gráfico de f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}} é uma curva ímpar que:
– passa pela origem,
– tem assíntota horizontal y=0,
– apresenta máximo local em (1,\tfrac12) e mínimo local em ( -1,-\tfrac12),
– muda de concavidade em x=\pm\sqrt3.

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