Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo é esboço de função racional: vamos determinar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos, simetria e pontos de inflexão para depois desenhar o perfil da curva.
Passo 2
Determinar domínio e interceptos:
O domínio de é todo
, pois
para todo
.
Para o intercepto em , calcule
:
O domínio de
Para o intercepto em
Para o intercepto em
, resolva
:
Logo, a curva passa pela origem
.
Passo 3
Identificar assíntotas:
Calcule :
Calcule
Portanto existe assíntota horizontal
à qual o gráfico se aproxima para grandes.
à qual o gráfico se aproxima para
Passo 4
Analisar monotonicidade e extremos locais:
Calcule a derivada
Calcule a derivada
As raízes de
são
.
Para ,
logo
(função crescente).
Para ,
logo
(função decrescente).
Assim há um máximo local em e um mínimo local em
:
Para
Para
Assim há um máximo local em
Passo 5
Examinar simetria e pontos de inflexão:
A função satisfaz
A função satisfaz
logo
é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
Para encontrar inflexões, calcule e ache onde muda de sinal. O cálculo mostra que
Para encontrar inflexões, calcule
Nestes pontos o gráfico troca de concavidade.
Passo 6
Esboçar o gráfico:
- Passa por
, cresce até , depois decresce assintoticamente para quando . - Simetricamente, decresce até
, depois cresce em direção a quando . - Há pontos de inflexão em
, com ordens de concavidade trocando ali.
Resposta
O gráfico de
é uma curva ímpar que:
– passa pela origem,
– tem assíntota horizontal ,
– apresenta máximo local em e mínimo local em
,
– muda de concavidade em .
– passa pela origem,
– tem assíntota horizontal
– apresenta máximo local em
– muda de concavidade em