Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função y = sen(1/x). O conteúdo envolvido é análise de comportamento de funções oscilatórias e estudo de limites em pontos críticos (x → 0 e x → ±∞). Vamos usar teoria de limites, zeros e máximos/mínimos de senóide.
Passo 2
Determinar o domínio e o comportamento para x → ±∞. O domínio é x ≠ 0. Para |x| grande, temos 1/x → 0, e como sen(u) ≈ u quando u → 0, então sen(1/x) ≈ 1/x. Logo, y tende a 0 quando x → ±∞, e o gráfico se aproxima do eixo x.
Analisar o comportamento para x → 0. Quando x se aproxima de zero, 1/x → ±∞, e sen(1/x) oscila indefinidamente entre −1 e 1. Isso significa que haverá infinitas oscilações com amplitude constante, acumulando-se junto ao eixo vertical x = 0 sem convergir a valor único.
Analisar o comportamento para x → 0. Quando x se aproxima de zero, 1/x → ±∞, e sen(1/x) oscila indefinidamente entre −1 e 1. Isso significa que haverá infinitas oscilações com amplitude constante, acumulando-se junto ao eixo vertical x = 0 sem convergir a valor único.
Passo 3
Identificar zeros, máximos e mínimos. Zeros ocorrem quando 1/x = kπ ⇒ x = 1/(kπ) para inteiro k ≠ 0. Máximos absolutoss (y = 1) ocorrem em 1/x = π/2 + 2πk ⇒ x = 1/(π/2 + 2πk). Mínimos (y = −1) ocorrem em 1/x = 3π/2 + 2πk ⇒ x = 1/(3π/2 + 2πk). Esses pontos estão cada vez mais próximos de 0.
Passo 4
Esboçar o gráfico combinando todas as informações:– Para x > 0, desenhar curvas senoidais de amplitude 1 entre y = −1 e y = 1 que se tornam mais rápidas ao aproximar-se de x = 0 e se achatam em direção a y = 0 quando x cresce.– Pela simetria ímpar (sen(1/(−x)) = −sen(1/x)), repetir o mesmo padrão espelhado em relação à origem para x < 0.– Marcar as linhas horizontais y = 1 e y = −1 como envelopes das oscilações e o eixo x como limite para |x| → ∞.
Resposta
O esboço do gráfico de y = sen(1/x) mostra infinitas oscilações de amplitude 1 acumulando-se junto à reta x = 0 e uma aproximação ao eixo x quando |x| cresce. Para x > 0 as cristas e vales surgem em x = 1/(π/2 + 2πk) e x = 1/(3π/2 + 2πk), aproximando-se de x = 0, e para x < 0 o padrão se repete de forma simétrica ímpar.