Esboce o gráfico do conjunto.
(\left{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 4\right})

Passo 1

O enunciado pede o esboço do conjunto \{(x,y)\mid x^2+4y^2\le4\}.
O conteúdo é reconhecer que essa desigualdade define uma elipse e sua região interna.

Passo 2

Para colocar em forma padrão, dividimos tudo por 4:
\frac{x^2}{4} + \frac{4y^2}{4} \le 1
que simplifica para
\frac{x^2}{4} + y^2 \le 1.

Passo 3

A curva limite
\frac{x^2}{4} + y^2 = 1
é uma elipse centrada em (0,0) com semieixo horizontal a=2 e semieixo vertical b=1. As interseções nos eixos são (\pm2,0) e (0,\pm1).

Passo 4

Para esboçar:
  1. Marque os pontos (2,0), (0,1), (-2,0), (0,-1).
  2. Una-os com uma curva suave de formato elíptico.
  3. Sombreie toda a região interna, pois vale “ \le”, incluindo a fronteira.

Passo 5

Uma maneira alternativa de gerar pontos da fronteira é usar a parametrização
x=2\cos t,\qquad y=\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
e então preencher todo o interior.

Resposta

O gráfico é a região interna (mais a fronteira) da elipse
\frac{x^2}{4} + y^2 = 1
centrada na origem, com semieixos de comprimento 2 ao longo de x e 1 ao longo de y.

Exercícios relacionados