Esboce o gráfico da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função
. Vamos trabalhar com funções exponenciais e entender como elas se comportam. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre exponenciais, propriedades de simetria, valores máximos e como a função se comporta quando
aumenta ou diminui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui,
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718. A expressão
está no expoente. Isso significa que, para cada valor de
, elevamos
a esse poder.
Passo 3
Vamos verificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
sempre dá um número positivo, o domínio aqui é todos os números reais:
Passo 4
Agora, o intervalo de
. Sabemos que
é sempre positivo para qualquer valor de
. Então,
nunca será zero ou negativo. Além disso, o menor valor de
ocorre quando
tende ao infinito, fazendo
se aproximar de zero. O valor máximo ocorre quando
é máximo, ou seja, quando
:
Então:
Passo 5
A função é simétrica em relação ao eixo
. Isso acontece porque se substituirmos
por
, o valor de
não muda:
Então, o gráfico é simétrico.
Passo 6
Vamos encontrar a derivada para descobrir onde a função atinge seus pontos máximos e como ela varia. A derivada de
em relação a
é:
Então:
Para encontrar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Então,
é o ponto onde a função atinge seu máximo, que já vimos ser
.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo e negativo:
- Para
:
- Para
:
Isso significa que o gráfico se aproxima do eixo
(mas nunca toca) quando
fica muito grande ou muito pequeno.
Passo 8
Agora, vamos resumir as informações:
- Domínio: todos os números reais.
- Intervalo:
. - Simetria: em relação ao eixo
. - Ponto máximo:
. - Comportamento assintótico: se aproxima do eixo
quando vai para .
Resposta
Com base nos passos acima, o gráfico da função
é uma curva simétrica em torno do eixo
, com o ponto mais alto em
. À medida que
aumenta ou diminui,
se aproxima de zero, formando uma espécie de “sino”. Aqui está um esboço simplificado:
y
|
1 | *
| ***
| *****
| *******
| *********
| *******
| *****
| ***
| *
|________________ x
Esse desenho mostra como a função atinge seu máximo em
e diminui simetricamente ao redor desse ponto.