Esboce o gráfico da curva y=e^-x^22

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função y = e^-x^22 . Vamos trabalhar com funções exponenciais e entender como elas se comportam. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre exponenciais, propriedades de simetria, valores máximos e como a função se comporta quando x aumenta ou diminui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função y = e^-x^22 . Aqui, e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718. A expressão -x^22 está no expoente. Isso significa que, para cada valor de x , elevamos e a esse poder.

Passo 3

Vamos verificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Como e^qualquer número ú sempre dá um número positivo, o domínio aqui é todos os números reais:
Domínio: x in R í

Passo 4

Agora, o intervalo de y . Sabemos que e^a é sempre positivo para qualquer valor de a . Então, y nunca será zero ou negativo. Além disso, o menor valor de a ocorre quando x tende ao infinito, fazendo y se aproximar de zero. O valor máximo ocorre quando a é máximo, ou seja, quando x = 0 :
ymáximo = e^0 = 1 á
Então:
Intervalo: 0 < y <= 1

Passo 5

A função é simétrica em relação ao eixo y . Isso acontece porque se substituirmos x por -x , o valor de y não muda:
y(-x) = e^-(-x)^22 = e^-x^22 = y(x)
Então, o gráfico é simétrico.

Passo 6

Vamos encontrar a derivada para descobrir onde a função atinge seus pontos máximos e como ela varia. A derivada de y em relação a x é:
y' = ddx ( e^-x^22 ) = e^-x^22 cdot (-x)
Então:
y' = -x cdot e^-x^22
Para encontrar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
-x cdot e^-x^22 = 0
Como e^-x^22 nunca é zero, temos:
-x = 0 Rightarrow x = 0
Então, x = 0 é o ponto onde a função atinge seu máximo, que já vimos ser y = 1 .

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função quando x tende ao infinito positivo e negativo:
  • Para x to +infty :
y = e^-x^22 to 0
  • Para x to -infty :
y = e^-x^22 to 0
Isso significa que o gráfico se aproxima do eixo x (mas nunca toca) quando x fica muito grande ou muito pequeno.

Passo 8

Agora, vamos resumir as informações:
  • Domínio: todos os números reais.
  • Intervalo: 0 < y <= 1 .
  • Simetria: em relação ao eixo y .
  • Ponto máximo: (0, 1) .
  • Comportamento assintótico: se aproxima do eixo x quando x vai para pminfty .

Resposta

Com base nos passos acima, o gráfico da função y = e^-x^22 é uma curva simétrica em torno do eixo y , com o ponto mais alto em (0, 1) . À medida que x aumenta ou diminui, y se aproxima de zero, formando uma espécie de “sino”. Aqui está um esboço simplificado:
     y
     |
   1 |      *
     |     *** 
     |    ***** 
     |   ******* 
     |  *********
     |   ******* 
     |    ***** 
     |     *** 
     |      *
     |________________ x
Esse desenho mostra como a função atinge seu máximo em x = 0 e diminui simetricamente ao redor desse ponto.

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