Ache y^prime ( Equivient dydx SANDC DERIVACÃO Implicita)
sen(x-y)=x cdot y

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Derivação Implícita, que faz parte do conteúdo de cálculo diferencial. A questão pede para encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, y' = dydx , a partir da equação sin(x - y) = x cdot y . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da derivação implícita, que é usada quando y não está isolado e depende de x .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que quando derivamos uma função composta, usamos a Regra da Cadeia. Então, derivando o lado esquerdo:
ddx[sin(x - y)] = cos(x - y) cdot (1 - y')
Aqui, cos(x - y) é a derivada de sin(x - y) e multiplicamos pelo derivado de (x - y) , que é 1 - y' , já que y é função de x .

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da equação x cdot y . Usamos a Regra do Produto aqui:
ddx[x cdot y] = y + x cdot y'
Isso porque a derivada de x é 1 e multiplicamos por y , mais x multiplicado pela derivada de y , que é y' .

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
cos(x - y) cdot (1 - y') = y + x cdot y'
Vamos distribuir o cos(x - y) :
cos(x - y) - cos(x - y) cdot y' = y + x cdot y'

Passo 5

Nosso objetivo é isolar y' . Vamos reunir todos os termos com y' em um lado e os outros termos no outro:
cos(x - y) - y = y' (cos(x - y) + x)

Passo 6

Finalmente, isolamos y' dividindo ambos os lados pela soma de cos(x - y) + x :
y' = cos(x - y) - ycos(x - y) + x

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
y' = cos(x - y) - ycos(x - y) + x

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