Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
\vec{\alpha}(t)=(t, t)

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da curva por meio da função vetorial \vec{\alpha}(t)=(t,t) e pede que se esboce o gráfico dessa curva. Informações relevantes que temos:
  • A função vetorial é \vec{\alpha}(t)=(t,t).
  • O enunciado não limita o domínio, então assumiremos t\in\mathbb{R}.
  • A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano e entender sua aparência e orientação.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para encontrar a equação cartesiana (isso ajuda a reconhecer a curva):
  • Como \vec{\alpha}(t)=(t,t), temos x=t e y=t.
  • Eliminando t obtemos y=x.
    Explicação didática: aqui cada valor de t gera o ponto com coordenadas iguais x=t e y=t, então todos os pontos satisfazem y=x. A equação y=x descreve uma reta que passa pela origem e tem coeficiente angular (declive) igual a 1.

Passo 3

Interprete geometricamente a reta y=x:
  • É uma reta que passa pela origem (0,0).
  • O declive m=1 significa que, ao andar 1 unidade para a direita, sobe-se 1 unidade. É uma linha a 45^\circ do eixo x (porque \arctan(1)=\pi/4).
    Esses são conceitos básicos de reta: forma y=mx+b, onde m é o declive e b é o intercepto em y. Aqui m=1 e b=0.

Passo 4

Construa o esboço com pontos amostrados (método prático para a prova):
  • Escolha valores simples de t, por exemplo t=-2,-1,0,1,2.
  • Calcule as imagens:
    \vec{\alpha}(-2)=(-2,-2),
    \vec{\alpha}(-1)=(-1,-1),
    \vec{\alpha}(0)=(0,0),
    \vec{\alpha}(1)=(1,1),
    \vec{\alpha}(2)=(2,2).
  • Marque esses pontos no plano cartesiano e una-os com uma linha reta. Essa linha é exatamente a reta y=x.
    Dica prática: em prova, marque alguns pontos e trace a reta passando por eles — é rápido e seguro.

Passo 5

Determine a orientação (sentido) da parametrização e o vetor tangente:
  • Derivando \vec{\alpha}(t) em relação a t obtemos \vec{\alpha}'(t)=(1,1).
  • Esse vetor diretor constante indica que a curva é uma reta com direção dada por (1,1).
  • A orientação é tal que, quando t cresce, o ponto percorre a linha no sentido nordeste (da esquerda para a direita e de baixo para cima).
    Explicação didática: o vetor (1,1) aponta para onde a curva “anda” quando t aumenta. Como é constante, a curva é retilínea.

Passo 6

Informações adicionais úteis para a prova (fatos que costumam cair):
  • Velocidade / norma do vetor velocidade: \|\vec{\alpha}'(t)\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. Ou seja, a parametrização não é unitária; o ponto percorre a reta com velocidade constante \sqrt{2}.
  • Comprimento de arco entre t=a e t=b: \displaystyle L=\int_a^b \|\vec{\alpha}'(t)\|\,dt=\sqrt{2}\,(b-a).
  • A parametrização é injetora (valores diferentes de t dão pontos diferentes) e a curva não é fechada (não volta ao mesmo ponto para diferentes t).
    Se for necessário um parâmetro por comprimento de arco (velocidade unitária), reparametrize por s=\sqrt{2}\,t, obtendo \vec{\beta}(s)=\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}},\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 7

Passo a passo rápido para desenhar na folha (receita de prova):
  1. Desenhe eixos x e y.
  2. Marque os pontos (-2,-2),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,2).
  3. Trace a linha reta passando por esses pontos.
  4. Escreva ao lado da reta a equação y=x.
  5. Coloque uma seta apontando na direção do vetor (1,1) para indicar que, à medida que t aumenta, o movimento é para o nordeste.
    Pronto — esse é o esboço correto e completo.

Resposta

A reta y=x para t\in\mathbb{R}, orientada no sentido de aumento de t (vetor diretor (1,1)).

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