Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da curva por meio da função vetorial
e pede que se esboce o gráfico dessa curva. Informações relevantes que temos:
- A função vetorial é
. - O enunciado não limita o domínio, então assumiremos
. - A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano e entender sua aparência e orientação.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para encontrar a equação cartesiana (isso ajuda a reconhecer a curva):
- Como
, temos e . - Eliminando
obtemos .
Explicação didática: aqui cada valor degera o ponto com coordenadas iguais e , então todos os pontos satisfazem . A equação descreve uma reta que passa pela origem e tem coeficiente angular (declive) igual a .
Passo 3
Interprete geometricamente a reta
:
- É uma reta que passa pela origem
. - O declive
significa que, ao andar 1 unidade para a direita, sobe-se 1 unidade. É uma linha a do eixo (porque ).
Esses são conceitos básicos de reta: forma, onde é o declive e é o intercepto em . Aqui e .
Passo 4
Construa o esboço com pontos amostrados (método prático para a prova):
- Escolha valores simples de
, por exemplo . - Calcule as imagens:
,
,
,
,
. - Marque esses pontos no plano cartesiano e una-os com uma linha reta. Essa linha é exatamente a reta
.
Dica prática: em prova, marque alguns pontos e trace a reta passando por eles — é rápido e seguro.
Passo 5
Determine a orientação (sentido) da parametrização e o vetor tangente:
- Derivando
em relação a obtemos . - Esse vetor diretor constante indica que a curva é uma reta com direção dada por
. - A orientação é tal que, quando
cresce, o ponto percorre a linha no sentido nordeste (da esquerda para a direita e de baixo para cima).
Explicação didática: o vetoraponta para onde a curva “anda” quando aumenta. Como é constante, a curva é retilínea.
Passo 6
Informações adicionais úteis para a prova (fatos que costumam cair):
- Velocidade / norma do vetor velocidade:
. Ou seja, a parametrização não é unitária; o ponto percorre a reta com velocidade constante . - Comprimento de arco entre
e : . - A parametrização é injetora (valores diferentes de
dão pontos diferentes) e a curva não é fechada (não volta ao mesmo ponto para diferentes ).
Se for necessário um parâmetro por comprimento de arco (velocidade unitária), reparametrize por, obtendo .
Passo 7
Passo a passo rápido para desenhar na folha (receita de prova):
- Desenhe eixos
e . - Marque os pontos
. - Trace a linha reta passando por esses pontos.
- Escreva ao lado da reta a equação
. - Coloque uma seta apontando na direção do vetor
para indicar que, à medida que aumenta, o movimento é para o nordeste.
Pronto — esse é o esboço correto e completo.
Resposta
A reta
para
, orientada no sentido de aumento de
(vetor diretor
).