Para inteiros positivos m e n, nós podemos usar a definição para mostrar que a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}.
Examine a equação a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} para n=0 e explique por que é razoável definir a^{0}=1 para a \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para examinar a identidade a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} no caso n=0 e explicar por que é razoável definir a^{0}=1 para a\neq0.
Informações dadas:
  • Temos a regra geral \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\, válida para inteiros positivos m,n (essa é a propriedade dos expoentes).
  • Queremos analisar o caso específico n=0.
  • O objetivo é justificar a definição a^{0}=1 quando a\neq0.

Passo 2

Lembrete básico (definição para expoentes positivos): para um inteiro positivo k definimos a^{k} como o produto de a por si mesmo k vezes. Por exemplo,
a^{1}=a,\qquad a^{2}=a\cdot a,\qquad a^{3}=a\cdot a\cdot a,
e assim por diante. A regra \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\, é consequência dessa definição de “multiplicar a repetidas vezes”.

Passo 3

Agora substituímos n=0 na identidade:
a^{m}\cdot a^{0}=a^{m+0}=a^{m}.
Isto significa, em palavras, que multiplicar a^{m} por a^{0} não altera a^{m}: o fator a^{0} é um elemento que age como identidade multiplicativa sobre os potências a^{m}.

Passo 4

Para ver qual número é essa identidade multiplicativa, escolha o caso simples m=1. A identidade com n=0
a^{1}\cdot a^{0}=a^{1}.
Como a^{1}=a, isto é
a\cdot a^{0}=a.
Se a\neq0, podemos “cancelar” a dos dois lados (ou dividir ambos os lados por a) e obtemos
a^{0}=1.
Esse é um argumento direto e elementar: o único número que satisfaz a\cdot x=a para a\neq0 é x=1.

Passo 5

Outra forma de ver a consistência é pensar em expoentes negativos e reciprocidade. Se definirmos para n>0
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},
então, usando a regra dos expoentes,
a^{n}\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{0}.
Mas o lado esquerdo é \dfrac{a^{n}}{a^{n}}=1 (para a\neq0), logo a^{0}=1. Assim a definição é compatível com a extensão para expoentes inteiros negativos.

Passo 6

Interpretação por produto vazio: em teoria dos produtos, o produto de zero fatores (produto vazio) é definido como o elemento neutro da multiplicação, ou seja 1. Como a^{k} é um produto de k fatores iguais a a, faz sentido definir a^{0} como o produto de zero fatores, isto é 1. Isso dá uma justificativa conceitual, além da algébrica.

Passo 7

Observação sobre a=0: o argumento do cancelamento não funciona se a=0, porque não se pode dividir por zero. Além disso, 0^{0} é uma expressão ambígua em muitos contextos (por exemplo, limites podem dar valores diferentes dependendo da situação), por isso costumamos deixar 0^{0} indefinido ou tratá-lo com cuidado caso a caso. Por isso a declaração é feita explicitamente para a\neq0.

Resposta

Definir a^{0}=1 para a\neq0 é natural e necessário para manter a identidade \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\, válida quando n=0; da equação a^{m}\cdot a^{0}=a^{m} (e tomando m=1) segue a\cdot a^{0}=a, e para a\neq0 isso implica a^{0}=1.

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