Para inteiros positivos
e
, nós podemos usar a definição para mostrar que
.
Examine a equação
para
e explique por que é razoável definir
para
.
Examine a equação
Passo 1
O enunciado pede para examinar a identidade
no caso
e explicar por que é razoável definir
para
.
Informações dadas:
- Temos a regra geral
válida para inteiros positivos (essa é a propriedade dos expoentes). - Queremos analisar o caso específico
. - O objetivo é justificar a definição
quando .
Passo 2
Lembrete básico (definição para expoentes positivos): para um inteiro positivo
definimos
como o produto de
por si mesmo
vezes. Por exemplo,
e assim por diante. A regra
é consequência dessa definição de “multiplicar
repetidas vezes”.
Passo 3
Agora substituímos
na identidade:
Isto significa, em palavras, que multiplicar
por
não altera
: o fator
é um elemento que age como identidade multiplicativa sobre os potências
.
Passo 4
Para ver qual número é essa identidade multiplicativa, escolha o caso simples
. A identidade com
dá
Como
, isto é
Se
, podemos “cancelar”
dos dois lados (ou dividir ambos os lados por
) e obtemos
Esse é um argumento direto e elementar: o único número que satisfaz
para
é
.
Passo 5
Outra forma de ver a consistência é pensar em expoentes negativos e reciprocidade. Se definirmos para
então, usando a regra dos expoentes,
Mas o lado esquerdo é
(para
), logo
. Assim a definição é compatível com a extensão para expoentes inteiros negativos.
Passo 6
Interpretação por produto vazio: em teoria dos produtos, o produto de zero fatores (produto vazio) é definido como o elemento neutro da multiplicação, ou seja
. Como
é um produto de
fatores iguais a
, faz sentido definir
como o produto de zero fatores, isto é
. Isso dá uma justificativa conceitual, além da algébrica.
Passo 7
Observação sobre
: o argumento do cancelamento não funciona se
, porque não se pode dividir por zero. Além disso,
é uma expressão ambígua em muitos contextos (por exemplo, limites podem dar valores diferentes dependendo da situação), por isso costumamos deixar
indefinido ou tratá-lo com cuidado caso a caso. Por isso a declaração é feita explicitamente para
.
Resposta
Definir
para
é natural e necessário para manter a identidade
válida quando
; da equação
(e tomando
) segue
, e para
isso implica
.