Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede para esboçar o gráfico da curva.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A coordenada
é . - A coordenada
é . - Não foi dado intervalo para
, então assumimos (todas as reais).
O pedido é: esboçar a curva no plano.
Passo 2
Eliminar o parâmetro para reconhecer a forma da curva. A partir de
temos
. Substituindo em
obtemos
Logo a curva é exatamente o gráfico da função
.
Passo 3
Domínio, imagem e período (o que isso significa para o esboço):
- Como
e , então . O gráfico é a onda cosseno para todo . - A imagem é
(amplitude , eixo médio ). - A função
tem período em . Em termos de , como , o período em é (porque aumenta quando aumenta ). Isso significa que o padrão se repete a cada incremento de em (equivalente a cada em ).
Passo 4
Pontos-chave para marcar no esboço (peguei os valores calculando com
simples):
-
dá . -
dá . -
dá . -
dá . -
dá .
Marque esses pontos no eixo(com divisões em , , , ) e conecte suavemente formando a crista/vale da cossenoide.
Passo 5
Orientação da curva e tangentes (útil para saber onde colocar setas e como a partícula se move):
- Derivada da parametrização:
- Como
, a abscissa cresce com . Portanto a orientação é da esquerda para a direita (setas apontando para a direita à medida que aumenta). Não há retrocesso no eixo . - A inclinação da curva (derivada
) é
Isto dá a tangente em pontos: por exemplo em
a tangente é horizontal (
); em
a inclinação é
; em
a tangente é horizontal de novo.
Passo 6
Como desenhar passo a passo (receita prática para fazer rápido na prova):
- Desenhe eixos
e . Marque no eixo as posições . - No eixo
marque e . - Marque os pontos listados em Passo 4.
- Ligue os pontos com uma curva suave que atinge máximo
em e mínimo em , cruzando em . - Coloque setas na curva apontando para a direita (sentido de
crescente). - Se quiser mostrar movimento, indique que um incremento de
por desloca por (por exemplo, de a vai de a ).
Passo 7
Observações finais e intuições úteis para a prova:
- A curva é regular porque
nunca é zero. Isso significa que não há cuspidas nem paradas instantâneas (a partícula sempre se move com velocidade não nula). - O gráfico é simplesmente a função
; a parametrização apenas “anda” sobre essa curva com velocidade variável, sempre da esquerda para a direita.
Resposta
O gráfico é o da função
para
, com orientação da esquerda para a direita; pontos importantes:
.