Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
\vec{\alpha}(t)=((\pi t), \cos (\pi t))

Passo 1

O enunciado dá a parametrização \vec{\alpha}(t)=\bigl(\pi t,\;\cos(\pi t)\bigr) e pede para esboçar o gráfico da curva.
Informações fornecidas:
  • A coordenada x é \pi t.
  • A coordenada y é \cos(\pi t).
  • Não foi dado intervalo para t, então assumimos t\in\mathbb{R} (todas as reais).
    O pedido é: esboçar a curva no plano (x,y).

Passo 2

Eliminar o parâmetro para reconhecer a forma da curva. A partir de x=\pi t temos t=\dfrac{x}{\pi}. Substituindo em y=\cos(\pi t) obtemos
y=\cos\!\bigl(\pi\cdot t\bigr)=\cos\!\bigl(\pi\cdot \tfrac{x}{\pi}\bigr)=\cos(x).
Logo a curva é exatamente o gráfico da função y=\cos(x).

Passo 3

Domínio, imagem e período (o que isso significa para o esboço):
  • Como t\in\mathbb{R} e x=\pi t, então x\in\mathbb{R}. O gráfico é a onda cosseno para todo x.
  • A imagem é y\in[-1,1] (amplitude 1, eixo médio y=0).
  • A função \cos(x) tem período 2\pi em x. Em termos de t, como x=\pi t, o período em t é 2 (porque x aumenta 2\pi quando t aumenta 2). Isso significa que o padrão se repete a cada incremento de 2 em t (equivalente a cada 2\pi em x).

Passo 4

Pontos-chave para marcar no esboço (peguei os valores calculando com t simples):
  • t=0 \bigl(0,\;1\bigr).
  • t=\tfrac{1}{2} \bigl(\tfrac{\pi}{2},\;0\bigr).
  • t=1 \bigl(\pi,\;-1\bigr).
  • t=\tfrac{3}{2} \bigl(\tfrac{3\pi}{2},\;0\bigr).
  • t=2 \bigl(2\pi,\;1\bigr).
    Marque esses pontos no eixo x (com divisões em \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}, 2\pi) e conecte suavemente formando a crista/vale da cossenoide.

Passo 5

Orientação da curva e tangentes (útil para saber onde colocar setas e como a partícula se move):
  • Derivada da parametrização:
\vec{\alpha}\,'(t)=\bigl(\pi,\; -\pi\sin(\pi t)\bigr).
  • Como \dfrac{dx}{dt}=\pi>0, a abscissa cresce com t. Portanto a orientação é da esquerda para a direita (setas apontando para a direita à medida que t aumenta). Não há retrocesso no eixo x.
  • A inclinação da curva (derivada dy/dx) é
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{-\pi\sin(\pi t)}{\pi}=-\sin(\pi t)=-\sin(x).
Isto dá a tangente em pontos: por exemplo em x=0 a tangente é horizontal ( dy/dx=0); em x=\tfrac{\pi}{2} a inclinação é -1; em x=\pi a tangente é horizontal de novo.

Passo 6

Como desenhar passo a passo (receita prática para fazer rápido na prova):
  1. Desenhe eixos x e y. Marque no eixo x as posições 0,\;\tfrac{\pi}{2},\;\pi,\;\tfrac{3\pi}{2},\;2\pi.
  2. No eixo y marque 1 e -1.
  3. Marque os pontos listados em Passo 4.
  4. Ligue os pontos com uma curva suave que atinge máximo y=1 em x=0,2\pi,\ldots e mínimo y=-1 em x=\pi,3\pi,\ldots, cruzando y=0 em x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2},\ldots.
  5. Coloque setas na curva apontando para a direita (sentido de t crescente).
  6. Se quiser mostrar movimento, indique que um incremento de t por 1 desloca x por \pi (por exemplo, de t=0 a t=1 vai de (0,1) a (\pi,-1)).

Passo 7

Observações finais e intuições úteis para a prova:
  • A curva é regular porque \|\vec{\alpha}\,'(t)\|=\pi\sqrt{1+\sin^2(\pi t)} nunca é zero. Isso significa que não há cuspidas nem paradas instantâneas (a partícula sempre se move com velocidade não nula).
  • O gráfico é simplesmente a função y=\cos x; a parametrização apenas “anda” sobre essa curva com velocidade variável, sempre da esquerda para a direita.

Resposta

O gráfico é o da função y=\cos(x) para x\in\mathbb{R}, com orientação da esquerda para a direita; pontos importantes: (0,1),\;(\tfrac{\pi}{2},0),\;(\pi,-1),\;(\tfrac{3\pi}{2},0),\;(2\pi,1).

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