Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
\vec{\alpha}(t)=(1, \cos t, 2 t)

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da curva parametrizada por \vec{\alpha}(t)=(1,\cos t,2t). As informações que temos são:
  • A função vetorial é \vec{\alpha}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 dada por \vec{\alpha}(t)=(1,\cos t,2t).
  • O parâmetro t não teve restrição no enunciado, então ele varia em \mathbb{R}.
    A pergunta é: como é o gráfico dessa curva no espaço e qual a sua aparência (forma, orientação, pontos notáveis, período etc.)?

Passo 2

Interpretação das componentes: escrevendo a componente a componente,
x(t)=1,\qquad y(t)=\cos t,\qquad z(t)=2t.
Vai ser útil perceber consequências imediatas:
  • Como x(t)=1 para todo t, a curva está toda contida no plano vertical \,x=1.
  • Portanto podemos estudar a curva olhando apenas para as coordenadas (y,z) nesse plano.

Passo 3

Eliminar o parâmetro para ver a relação entre y e z. Da terceira componente temos t=\dfrac{z}{2}. Substituindo na segunda componente:
y=\cos t=\cos\!\left(\dfrac{z}{2}\right).
Logo a curva é exatamente o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
x=1,\qquad y=\cos\!\left(\dfrac{z}{2}\right),
com z\in\mathbb{R}. Em palavras: é o gráfico da função y=\cos\!\left(\dfrac{z}{2}\right) dentro do plano x=1.

Passo 4

Características da onda senoidal em termos de amplitude e período:
  • Amplitude: como y=\cos(\cdot), a amplitude é 1. Então y oscila entre -1 e 1.
  • Período em t: a função \cos t tem período 2\pi em t.
  • Período em z: como z=2t, um incremento de t de 2\pi corresponde a um incremento em z de 2\cdot 2\pi=4\pi. Assim o período em z é 4\pi.
    Portanto, à medida que avançamos em z, a senoide repete a cada \Delta z=4\pi.

Passo 5

Pontes e pontos notáveis para desenhar (calculei substituindo valores de t):
\begin{aligned} t=0 &\Rightarrow \vec{\alpha}(0)=(1,\cos 0,0)=(1,1,0),\\\ t=\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow \vec{\alpha}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=(1,0,\pi),\\\ t=\pi &\Rightarrow \vec{\alpha}(\pi)=(1,-1,2\pi),\\\ t=\tfrac{3\pi}{2} &\Rightarrow \vec{\alpha}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=(1,0,3\pi),\\\ t=2\pi &\Rightarrow \vec{\alpha}(2\pi)=(1,1,4\pi). \end{aligned}
Esses pontos mostram claramente a oscilação em y (entre \pm1) e o avanço linear em z (saltos de 2t).

Passo 6

Orientação e tangente: derivando \vec{\alpha} obtemos
\vec{\alpha}\,'(t)=(0,-\sin t,2).
Isto nos diz:
  • A componente z da derivada é 2>0, então z cresce sempre com t. Ou seja, conforme t aumenta, percorremos a curva no sentido de z crescente (movimento “para cima” no eixo z).
  • A componente y muda como -\sin t, causando as subidas e descidas em y. A combinação dá uma onda que sobe (em z) enquanto oscila (em y).

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo que pode usar na prova):
  1. Desenhe o plano vertical x=1 ou simplesmente escolha uma reta paralela ao eixo z e marque um eixo y perpendicular dentro desse plano.
  2. No plano x=1, trace a função y=\cos\!\left(\dfrac{z}{2}\right): amplitude 1, zeros em z=\pi,3\pi,5\pi,\dots (porque \cos(z/2)=0 quando z/2=(2k+1)\frac{\pi}{2}\Rightarrow z=(2k+1)\pi), máximos em z=4k\pi (valores y=1) e mínimos em z=2(2k+1)\pi=2\pi+4k\pi (valores y=-1).
  3. Marque os pontos do Passo 5 e ligue-os por uma curva suave oscilante. Indique uma seta no sentido de z crescente para mostrar a orientação (seta apontando para cima).
  4. Observe que a curva se estende para z\to\pm\infty, repetindo a oscilação com passo vertical 4\pi.

Passo 8

Resumo geométric0 e intuitivo (para gravar na cabeça): a curva é uma senoide vertical localizada no plano x=1: imagine uma corda com forma de onda presa num plano vertical e esticada ao longo do eixo z; essa corda não dá voltas em torno de um eixo (não é uma hélice espacial), apenas oscila lateralmente em y enquanto sobe continuamente em z.

Resposta

A curva está contida no plano x=1 e é dada por y=\cos\!\left(\dfrac{z}{2}\right). É uma senoide com amplitude 1, período em z igual a 4\pi, orientada no sentido de z crescente (à medida que t aumenta, a curva sobe), e passa por pontos notáveis como (1,1,0), (1,0,\pi), (1,-1,2\pi), (1,0,3\pi), (1,1,4\pi).

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