Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel , quando o parâmetro varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: ;
Passo 1
Temos duas curvas paramétricas em $\mathbb{R}^3$ com coordenadas dadas por $x(t),y(t),z(t)$ e o parâmetro \t\). Precisamos esboçar cada curva para os intervalos de \t\) indicados e eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana. Para isso vamos usar identidade trigonométrica no primeiro caso e simples isolamento de \t\) no segundo.
Passo 2
A primeira curva é
$$
x = 4\cos(t),\quad y = 4\sin(t),\quad z=2,\quad 0\le t\le 2\pi.
$$
Repare que x = 4cos(t), y = 4sin(t), z=2, 0<= t<= 2pi
a identidade trigonométrica nos permite escrever:
$$
\frac{x2}{42}+\frac{y2}{42}=1
$$
que simplifica para
$$
x2+y2=16.
$$
Essa é a equação de um círculo de raio 4 no plano $z=2$.
Passo 3
A segunda curva é
$$
x = t+1,\quad y = t^2+4,\quad z=2,\quad -\infty<t<+\infty.
$$
Isolando \t\) em $x=t+1$ obtemos \t = x-1\). Substituindo em $y$ dá:
$$
y = (x-1)^2 + 4.
$$
Isso descreve uma parábola com vértice em $(1,4,2)$ que se abre para cima no plano $z=2$.
Resposta
Para a primeira curva: x2+y2=16 com z=2 (círculo de raio 4). Para a segunda curva: y=(x-1)^2+4 com z=2 (parábola de vértice em (1,4)).