Seja S a região plana triangular em R^3 com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1). Calcule
integral duplaS x z d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região triangular no espaço tridimensional, definida pelos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). O que a gente precisa fazer é calcular a integral dupla de x z sobre essa área. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar essa superfície e como calcular o elemento de área d s.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região S. Os três pontos dados (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) formam um triângulo no espaço. Observando bem, todos esses pontos satisfazem a equação x + y + z = 1. Então, a superfície S está no plano definido por essa equação.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície. Podemos escolher duas das variáveis, por exemplo, x e y, e expressar z em função delas usando a equação do plano: z = 1 - x - y. Assim, qualquer ponto na superfície S pode ser descrito como (x, y, 1 - x - y).

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o elemento de área d s. Para uma superfície parametrizada por x e y, temos:
d s = raiz( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 + 1 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = -1, partial zpartial y = -1
Então,
d s = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1 , dx , dy = raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = raiz3 , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla. A função que queremos integrar é x z, e já sabemos que z = 1 - x - y. Então:
integral duplaS x z , d s = raiz3 integral duplaD x (1 - x - y) , dx , dy
Aqui, D é a projeção do triângulo S no plano xy, que é o triângulo com vértices em (1,0), (0,1) e (0,0). Os limites de integração são x de 0 a 1, e para cada x, y vai de 0 a 1 - x.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
raiz3 integral0^1 integral0^1 - x x (1 - x - y) , dy , dx
Primeiro integraremos em relação a y:
integral0^1 - x x (1 - x - y) , dy = x [ (1 - x) y - y^22 ]0^1 - x
Substituindo os limites:
x [ (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^22 ] = x [ (1 - x)^22 ] = x (1 - x)^22
Agora, integramos em relação a x:
raiz3 integral0^1 x (1 - x)^22 , dx = raiz32 integral0^1 x (1 - 2x + x^2) , dx = raiz32 integral0^1 (x - 2x^2 + x^3) , dx
Integrando termo a termo:
raiz32 [ x^22 - 2x^33 + x^44 ]0^1 = raiz32 ( 12 - 23 + 14 )
Calculando os valores:
12 - 23 + 14 = 612 - 812 + 312 = 112
Então, a integral fica:
raiz32 cdot 112 = raiz324

Resposta

A integral dupla vale dfracraiz324.

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