Seja
a região plana triangular em
com vértices
e
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região triangular no espaço tridimensional, definida pelos pontos
,
e
. O que a gente precisa fazer é calcular a integral dupla de
sobre essa área. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar essa superfície e como calcular o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Os três pontos dados
,
e
formam um triângulo no espaço. Observando bem, todos esses pontos satisfazem a equação
. Então, a superfície
está no plano definido por essa equação.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície. Podemos escolher duas das variáveis, por exemplo,
e
, e expressar
em função delas usando a equação do plano:
. Assim, qualquer ponto na superfície
pode ser descrito como
.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o elemento de área
. Para uma superfície parametrizada por
e
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla. A função que queremos integrar é
, e já sabemos que
. Então:
Aqui,
é a projeção do triângulo
no plano
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Os limites de integração são
de
a
, e para cada
,
vai de
a
.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro integraremos em relação a
:
Substituindo os limites:
Agora, integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral dupla vale
.