Sendo
mostre que vale a seguinte relação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que uma certa soma infinita envolvendo números complexos $ z = x + iy $ satisfaz uma relação específica. Vamos usar conceitos de números complexos e séries infinitas, especialmente séries de potências. Para resolver, vamos precisar expandir $ z^{2n} $ e separar as partes reais e imaginárias usando propriedades de séries e números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir $ z^{2n} $. Sabemos que $ z = x + iy $, então:
Usando a fórmula de expansão binomial, mas para simplificar, reconhecemos que para potências pares, temos uma combinação de termos pares e ímpares.
Passo 3
Vamos separar $ z^{2n} $ em suas partes reais e imaginárias. Para números complexos, quando elevamos uma potência par, a parte imaginária ainda pode aparecer. Mas, como estamos somando sobre $ n $, vamos reorganizar a soma para refletir isso.
Passo 4
Agora, vamos escrever a série dada:
Substituindo $ z = x + iy $, temos:
Passo 5
Expandindo $ (x + iy)^{2n} $ usando a fórmula de Euler para números complexos:
Mas como estamos somando apenas os termos de $ z^{2n} $ multiplicados por $ (-1)^n/(2n)! $, precisamos identificar as partes reais e imaginárias dessa expansão.
Passo 6
Observamos que $ (iy)^k = i^k y^k $. Quando $ k $ é par, $ i^k $ é real ($ i^2 = -1 $), e quando $ k $ é ímpar, $ i^k $ é imaginário.
Então, a série se divide em partes reais e imaginárias da seguinte forma:
Passo 7
Explicando melhor, usamos que:
- A parte real da série envolve termos com $ x^{2n} $ e $ y^{2n} $, que são ambos pares.
- A parte imaginária envolve termos com $ x^{2n+1} $ e $ y^{2n+1} $, que são ímpares, e multiplicadas por $ i $.
Isso nos leva à relação desejada, separando a série original em partes reais e imaginárias multiplicadas por $ i $.
Resposta
Portanto, mostramos que: