Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
P(x, y) , quando o parâmetro
t varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens.
Identifique as curvas a seguir, parametrize-as e esboce o seu gráfico:
x^2+y^2-2 x+5 y-3=0;

Passo 1

O enunciado pede para identificar a curva dada pela equação
x^2+y^2-2x+5y-3=0
ou seja, reconhecer que tipo de cônica é, escrever sua forma padrão (completar quadrados) para descobrir centro e raio, depois parametrizá-la e, por fim, esboçar o círculo resultante.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e em y. Começamos agrupando termos:
x^2-2x ;+; y^2+5y ;=; 3
Para x: ;x^2-2x=(x-1)^2-1.
Para y: ;y^2+5y=(y+tfrac52)^2-l(tfrac52r)^2=(y+tfrac52)^2-tfrac254
Substituindo na equação:
(x-1)^2-1 ;+;(y+tfrac52)^2-tfrac254 ;=;3 Longrightarrow (x-1)^2+(y+tfrac52)^2 ;=;3+1+tfrac254 ;=;tfrac414
Logo, é um círculo de centro C=(1,-tfrac52) e raio
r=raiztfrac414=tfracraiz412

Passo 3

Uma parametrização padrão de um círculo de centro (x0,y0) e raio r é
x(t)=x0+rcos t, y(t)=y0+rsin t,
com tin[0,2pi]. Aqui temos
x(t)=1+tfracraiz412cos t, y(t)=-tfrac52+tfracraiz412sin t, 0<= t<2pi

Passo 4

Para esboçar:
  • Marque o centro C=(1,-2,5) no plano cartesiano.
  • Com régua, desenhe um círculo de raio aproximado rapprox3,20.
  • Indique alguns pontos notáveis (por exemplo, para t=0,tfracpi2,pi,tfrac3pi2).

Resposta

A curva é um círculo centrado em l(1,-tfrac52r) de raio tfracraiz412.
Parametrização:
x(t)=1+tfracraiz412cos t, y(t)=-tfrac52+tfracraiz412sin t, tin[0,2pi]
Gráfico: círculo de centro (1,-2,5) e raio approx3,20.

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