Esboce o gráfico da curva e indique com seta a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t)=(t, t, \cos t).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em \mathbb{R}^3
r(t) = (t,\; t,\; \cos t),
e pede dois itens:
  • Esboçar o gráfico da curva (isto é, desenhar uma representação razoável em 3D).
  • Indicar com setas a direção em que o parâmetro t cresce.
Informações fornecidas e observações imediatas (pego diretamente do enunciado):
  • As coordenadas são x(t)=t, y(t)=t e z(t)=\cos t.
  • O parâmetro t varia em \mathbb{R} (não foi limitado no enunciado), logo a curva é definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • A componente z é periódica de período 2\pi; x e y crescem sem limite.

Passo 2

Explicando a ideia geral de esboço (passo a passo didático e sem pular etapas).
  • Uma curva em \mathbb{R}^3 dada por r(t)=(x(t),y(t),z(t)) pode ser compreendida desenhando suas projeções nos planos coordenados e/ou identificando uma descrição geométrica direta.
  • Aqui é útil observar as projeções em:
    • plano xy: (x,y)=(t,t);
    • plano xz: (x,z)=(t,\cos t);
    • plano yz: (y,z)=(t,\cos t).
  • Essas projeções dizem o seguinte: na projeção sobre o plano xy a curva é a reta y=x; nas projeções xz e yz aparece uma onda cosseno que se desloca ao longo do eixo horizontal t.
  • Conclusão heurística: a curva é uma “onda de cosseno” que se propaga ao longo da reta y=x no plano horizontal, com amplitude 1 em z.

Passo 3

Calcular o vetor tangente e interpretar a direção do movimento.
  • Derivando componente a componente:
r'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr) = (1,\;1,\; -\sin t).
  • Interpretação:
    • x'(t)=1 e y'(t)=1 significam que, para qualquer aumento de t, tanto x quanto y aumentam com taxa igual a 1. Então o movimento projetado no plano xy é ao longo da reta y=x no sentido de x e y crescentes.
    • z'(t)=-\sin t indica se a curva sobe ou desce em z: quando \sin t>0 então z'(t)<0 (z está decrescendo), quando \sin t<0 então z'(t)>0 (z está subindo). Assim o movimento em z é oscilatório, correspondendo ao comportamento da função \cos t.

Passo 4

Pontos-chave para marcar no esboço (valores fáceis de desenhar).
  • Marcar pontos para t=0,\; \tfrac{\pi}{2},\; \pi,\; \tfrac{3\pi}{2},\; 2\pi. Peguei esses números substituindo t na expressão da curva:
    • t=0:\; r(0) = (0,\;0,\;1).
    • t=\tfrac{\pi}{2}:\; r\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \bigl(\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2},\;0\bigr).
    • t=\pi:\; r(\pi) = (\pi,\;\pi,\;-1).
    • t=\tfrac{3\pi}{2}:\; r\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = \bigl(\tfrac{3\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2},\;0\bigr).
    • t=2\pi:\; r(2\pi) = (2\pi,\;2\pi,\;1).
  • Observações úteis para o desenho:
    • Picos em z=1 ocorrem em t=2k\pi.
    • Vales em z=-1 ocorrem em t=(2k+1)\pi.
    • A distância entre dois picos consecutivos ao longo da reta y=x é \Delta s = 2\pi\sqrt{2} (porque \Delta x=\Delta y=2\pi, então \sqrt{(2\pi)^2+(2\pi)^2}=2\pi\sqrt{2}).

Passo 5

Como montar o esboço concreto (instrução passo a passo para desenhar à mão sem calculadora).
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D (um eixo x para a direita, y saindo para cima da página oblíquamente, z vertical).
  2. No plano xy desenhe a reta y=x (uma linha diagonal que parte da origem e vai para a direção onde x e y aumentam).
  3. Marque sobre essa reta os pontos correspondentes aos valores de t dados no Passo 4: por exemplo marque (0,0), \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), (\pi,\pi), (\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}), (2\pi,2\pi) — esses são as projeções em xy; então, sobre cada marca eleve uma distância em z igual a \cos t (por exemplo em t=0 desenhe um ponto acima da reta com z=1; em t=\pi desenhe um ponto abaixo com z=-1; em t=\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2} coloque ponto em z=0).
  4. Ligue esses pontos suavemente seguindo a forma da função \cos t: entre t=0 e t=\pi a curva desce de z=1 a z=-1; entre t=\pi e t=2\pi sobe de volta a z=1, e assim por diante.
  5. Coloque setas ao longo da curva apontando no sentido em que t aumenta. Como regra prática, as setas apontam no sentido em que as marcas ao longo da reta y=x vão ficando mais distantes da origem (ou seja, para a frente ao longo da reta y=x). Em cada ponto a direção local é dada por r'(t)=(1,1,-\sin t) — use isso para orientar levemente as setas (quando -\sin t>0 a seta terá componente para cima em z, etc.).

Passo 6

Observações finais didáticas e dicas de prova
  • Geometricamente: a curva é ilimitada em x e y (vai para o infinito na direção x=y) mas periódica em z, por isso não é fechada nem plana; é uma onda (não helicoidal) seguindo uma linha reta no plano horizontal.
  • Para indicar a direção nas provas, basta desenhar umas 3 setas espaçadas ao longo da curva apontando para onde x e y aumentam simultaneamente; se quiser ser preciso, anote que o vetor tangente é r'(t)=(1,1,-\sin t).
  • Se precisar de pontos adicionais para refinar o desenho, escolha valores de t como t=k\pi/4 para captar meia-oscilação cada vez.

Resposta

A curva é uma “onda de cosseno” que corre ao longo da reta y=x no plano horizontal: sobre a reta y=x a coordenada vertical é z=\cos t. Picos em z=1 em t=2k\pi e vales em z=-1 em t=(2k+1)\pi. A direção do parâmetro t é para x e y crescentes (setas apontando ao longo da reta y=x na direção (1,1)); localmente o vetor tangente é r'(t)=(1,1,-\sin t).

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