Esboce o gráfico da curva e indique com seta a direção na qual o parâmetro cresce.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica em
e pede dois itens:
- Esboçar o gráfico da curva (isto é, desenhar uma representação razoável em 3D).
- Indicar com setas a direção em que o parâmetro
cresce.
Informações fornecidas e observações imediatas (pego diretamente do enunciado):
- As coordenadas são
, e . - O parâmetro
varia em (não foi limitado no enunciado), logo a curva é definida para todo . - A componente
é periódica de período ; e crescem sem limite.
Passo 2
Explicando a ideia geral de esboço (passo a passo didático e sem pular etapas).
- Uma curva em
dada por pode ser compreendida desenhando suas projeções nos planos coordenados e/ou identificando uma descrição geométrica direta. - Aqui é útil observar as projeções em:
- plano
: ; - plano
: ; - plano
: .
- plano
- Essas projeções dizem o seguinte: na projeção sobre o plano
a curva é a reta ; nas projeções e aparece uma onda cosseno que se desloca ao longo do eixo horizontal . - Conclusão heurística: a curva é uma “onda de cosseno” que se propaga ao longo da reta
no plano horizontal, com amplitude em .
Passo 3
Calcular o vetor tangente e interpretar a direção do movimento.
- Derivando componente a componente:
- Interpretação:
-
e significam que, para qualquer aumento de , tanto quanto aumentam com taxa igual a . Então o movimento projetado no plano é ao longo da reta no sentido de e crescentes. -
indica se a curva sobe ou desce em : quando então (z está decrescendo), quando então (z está subindo). Assim o movimento em é oscilatório, correspondendo ao comportamento da função .
-
Passo 4
Pontos-chave para marcar no esboço (valores fáceis de desenhar).
- Marcar pontos para
. Peguei esses números substituindo na expressão da curva: -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Observações úteis para o desenho:
- Picos em
ocorrem em . - Vales em
ocorrem em . - A distância entre dois picos consecutivos ao longo da reta
é (porque , então ).
- Picos em
Passo 5
Como montar o esboço concreto (instrução passo a passo para desenhar à mão sem calculadora).
- Desenhe um sistema de eixos 3D (um eixo
para a direita, saindo para cima da página oblíquamente, vertical). - No plano
desenhe a reta (uma linha diagonal que parte da origem e vai para a direção onde e aumentam). - Marque sobre essa reta os pontos correspondentes aos valores de
dados no Passo 4: por exemplo marque , , , , — esses são as projeções em ; então, sobre cada marca eleve uma distância em igual a (por exemplo em desenhe um ponto acima da reta com ; em desenhe um ponto abaixo com ; em e coloque ponto em ). - Ligue esses pontos suavemente seguindo a forma da função
: entre e a curva desce de a ; entre e sobe de volta a , e assim por diante. - Coloque setas ao longo da curva apontando no sentido em que
aumenta. Como regra prática, as setas apontam no sentido em que as marcas ao longo da reta vão ficando mais distantes da origem (ou seja, para a frente ao longo da reta ). Em cada ponto a direção local é dada por — use isso para orientar levemente as setas (quando a seta terá componente para cima em , etc.).
Passo 6
Observações finais didáticas e dicas de prova
- Geometricamente: a curva é ilimitada em
e (vai para o infinito na direção ) mas periódica em , por isso não é fechada nem plana; é uma onda (não helicoidal) seguindo uma linha reta no plano horizontal. - Para indicar a direção nas provas, basta desenhar umas 3 setas espaçadas ao longo da curva apontando para onde
e aumentam simultaneamente; se quiser ser preciso, anote que o vetor tangente é . - Se precisar de pontos adicionais para refinar o desenho, escolha valores de
como para captar meia-oscilação cada vez.
Resposta
A curva é uma “onda de cosseno” que corre ao longo da reta
no plano horizontal: sobre a reta
a coordenada vertical é
. Picos em
em
e vales em
em
. A direção do parâmetro
é para
e
crescentes (setas apontando ao longo da reta
na direção
); localmente o vetor tangente é
.