Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y, z)=x e^{-y} \sin z.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x e^{-y}\sin z
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem: isto é, os três valores
\frac{\partial f}{\partial x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}.
Informações relevantes que temos:
  • A função depende de três variáveis x, y e z.
  • Para cada derivada parcial, tratamos as outras duas variáveis como constantes.

Passo 2

Breve explicação do que é derivada parcial (passo-a-passo didático):
  • A derivada parcial de f em relação a x mede como f varia quando apenas x muda, mantendo y e z fixos. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{h}.
  • Mesma ideia para \partial f/\partial y e \partial f/\partial z, mantendo as outras variáveis constantes.
  • Regras de diferenciação que iremos usar:
    • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então (uv)'=u'v+uv'. Aqui vai ser usada de forma simples quando a variável de diferenciação aparece multiplicando fatores que são constantes relativamente a ela.
    • Regra da cadeia: se g(u) e u(x), então \dfrac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x). Será usada para \dfrac{d}{dy}e^{-y} porque e^{-y}=e^{u} com u=-y.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} (passo-a-passo):
  • Ao derivar em relação a x, tratamos e^{-y} e \sin z como constantes (pois dependem só de y e z).
  • Então f é, em x, o produto x\cdot\big(e^{-y}\sin z\big) com o segundo fator constante.
  • Derivando, a derivada de x é 1, logo
\frac{\partial f}{\partial x}=1\cdot e^{-y}\sin z=e^{-y}\sin z.
Pequena interpretação: aumentar x um pouco aumenta f proporcionalmente a e^{-y}\sin z.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} (passo-a-passo com regra da cadeia):
  • Ao derivar em relação a y, tratamos x e \sin z como constantes.
  • Temos f(x,y,z)=x\cdot\big(e^{-y}\big)\cdot\sin z. O único fator que varia com y é e^{-y}.
  • Aplicando a regra da cadeia para e^{u} com u=-y: \dfrac{d}{dy}e^{-y}=e^{-y}\cdot(-1)=-e^{-y}.
  • Multiplicando pelos fatores constantes x e \sin z, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot(-e^{-y})\cdot\sin z=-x e^{-y}\sin z.
Intuição: como e^{-y} decresce quando y cresce, a derivada em y vem com sinal negativo.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z} (passo-a-passo usando derivada de seno):
  • Ao derivar em relação a z, tratamos x e e^{-y} como constantes.
  • A parte que depende de z é \sin z; a derivada de \sin z é \cos z.
  • Multiplicando pelos fatores constantes, obtemos
\frac{\partial f}{\partial z}=x e^{-y}\cos z.
Interpretação: variar z muda o fator oscilante \sin z, produzindo a \cos z na derivada.

Passo 6

Pequena verificação numérica (exemplo concreto para conferir que faz sentido):
  • Avaliando em \big(x,y,z\big)=(1,0,\tfrac{\pi}{2}):
    • f(1,0,\tfrac{\pi}{2})=1\cdot e^{0}\cdot\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{0}\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
    • \dfrac{\partial f}{\partial y}=-1\cdot e^{0}\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=-1.
    • \dfrac{\partial f}{\partial z}=1\cdot e^{0}\cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0.
  • Esses valores batem com a intuição: em z=\tfrac{\pi}{2} a função atinge um máximo local em z (por isso a derivada em z é zero).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=e^{-y}\sin z
\frac{\partial f}{\partial y}=-x e^{-y}\sin z
\frac{\partial f}{\partial z}=x e^{-y}\cos z

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