Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem: isto é, os três valores
Informações relevantes que temos:
- A função depende de três variáveis
, e . - Para cada derivada parcial, tratamos as outras duas variáveis como constantes.
Passo 2
Breve explicação do que é derivada parcial (passo-a-passo didático):
- A derivada parcial de
em relação a mede como varia quando apenas muda, mantendo e fixos. Formalmente,
- Mesma ideia para
e , mantendo as outras variáveis constantes. - Regras de diferenciação que iremos usar:
- Regra do produto: se
e são funções de , então . Aqui vai ser usada de forma simples quando a variável de diferenciação aparece multiplicando fatores que são constantes relativamente a ela. - Regra da cadeia: se
e , então . Será usada para porque com .
- Regra do produto: se
Passo 3
Cálculo de
(passo-a-passo):
- Ao derivar em relação a
, tratamos e como constantes (pois dependem só de e ). - Então
é, em , o produto com o segundo fator constante. - Derivando, a derivada de
é , logo
Pequena interpretação: aumentar
um pouco aumenta
proporcionalmente a
.
Passo 4
Cálculo de
(passo-a-passo com regra da cadeia):
- Ao derivar em relação a
, tratamos e como constantes. - Temos
. O único fator que varia com é . - Aplicando a regra da cadeia para
com : . - Multiplicando pelos fatores constantes
e , obtemos
Intuição: como
decresce quando
cresce, a derivada em
vem com sinal negativo.
Passo 5
Cálculo de
(passo-a-passo usando derivada de seno):
- Ao derivar em relação a
, tratamos e como constantes. - A parte que depende de
é ; a derivada de é . - Multiplicando pelos fatores constantes, obtemos
Interpretação: variar
muda o fator oscilante
, produzindo a
na derivada.
Passo 6
Pequena verificação numérica (exemplo concreto para conferir que faz sentido):
- Avaliando em
: -
. -
. -
. -
.
-
- Esses valores batem com a intuição: em
a função atinge um máximo local em (por isso a derivada em é zero).