Esboce o gráfico das curvas dadas em coordendas polares:
rho^2=11+sen^2(theta).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por \r
\r
O conteúdo é análise de curvas polares: vamos isolar , estudar domínio e simetrias, identificar máximos e mínimos de em ângulos chave e, a partir daí, fazer o esboço.

Passo 2

Isolando rho num raio não-negativo, temos \r
rho = 1raiz1+sin^2(theta), \r
com theta variando em [0,2pi). Essa expressão define um raio que depende apenas de sin^2(theta).

Passo 3

Como rho depende de sin^2(theta), vale:\r
  • sin^2(theta) é periódico de período pi, logo rho(theta+pi)=rho(theta).\r
  • sin^2(-theta)=sin^2(theta), então a curva é simétrica em relação ao eixo x.\r
  • sin^2(pi-theta)=sin^2(theta), logo também simétrica em relação ao eixo y.

Passo 4

Calculamos rho em ângulos notáveis para ver onde o raio é máximo ou mínimo:\r
  • theta=0 ou pi: sin^2(theta)=0 Rightarrow \r rhomax=1raiz1+0=1\r
  • theta=tfracpi2 ou tfrac3pi2: sin^2(theta)=1 Rightarrow \r rhomin=1raiz1+1=1raiz2approx0,707\r
Em ângulos intermediários (por exemplo theta=pi/4), rho varia suavemente entre esses valores.

Passo 5

Para esboçar, trace dois círculos concêntricos: um de raio rhomin=1/raiz2 e outro de raio rhomax=1. Em theta=0 e theta=pi a curva toca o círculo maior; em theta=tfracpi2 e tfrac3pi2 toca o menor. Entre esses pontos a curva é suave e convexa, formando uma “oval” simétrica nos eixos x e y, mais esticada horizontalmente.

Resposta

Descrição do esboço: \r
  • No eixo x (direções theta=0,pi) a curva atinge rho=1. \r
  • No eixo y (direções theta=tfracpi2,tfrac3pi2) atinge rho=1/raiz2. \r
  • A curva é fechada, suave, simétrica em relação aos eixos coordenados e fica sempre entre os círculos de raio 1/raiz2 e 1.

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