Esboce o gráfico das curvas dadas em coordendas polares:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por \r
O conteúdo é análise de curvas polares: vamos isolar
, estudar domínio e simetrias, identificar máximos e mínimos de
em ângulos chave e, a partir daí, fazer o esboço.
Passo 2
Isolando
num raio não-negativo, temos \r
com
variando em
. Essa expressão define um raio que depende apenas de
.
Passo 3
Como
depende de
, vale:\r
-
é periódico de período , logo .\r -
, então a curva é simétrica em relação ao eixo .\r -
, logo também simétrica em relação ao eixo .
Passo 4
Calculamos
em ângulos notáveis para ver onde o raio é máximo ou mínimo:\r
-
ou : \r \r -
ou : \r \r
Em ângulos intermediários (por exemplo
),
varia suavemente entre esses valores.
Passo 5
Para esboçar, trace dois círculos concêntricos: um de raio
e outro de raio
. Em
e
a curva toca o círculo maior; em
e
toca o menor. Entre esses pontos a curva é suave e convexa, formando uma “oval” simétrica nos eixos
e
, mais esticada horizontalmente.
Resposta
Descrição do esboço: \r
- No eixo
(direções ) a curva atinge . \r - No eixo
(direções ) atinge . \r - A curva é fechada, suave, simétrica em relação aos eixos coordenados e fica sempre entre os círculos de raio
e .