Exercício 2.45. Resolva o PVI
l t d yd t-y=2 t^2 y(1)=5

Passo 1

O enunciado apresenta um PVI de primeira ordem dado por
t ,dfracdydt-y=2t^2, y(1)=5
O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes variáveis. Para resolver, vamos colocar na forma padrão dfracdydt+P(t),y=Q(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por t (supondo tneq0), obtemos
dfracdydt-1t,y=2t
Aqui P(t)=-tfrac1t e Q(t)=2t. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr) =expl(integral -tfrac1t,dtr) =exp(-ln t)=1t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(t)=1/t:
1t,dydt-1t^2,y =2
O lado esquerdo é a derivada do produto dfracddtl(ycdottfrac1tr). Logo,
ddtl(ytr)=2
Integrando em t, vem
yt=integral 2,dt=2t+C,
onde C é constante de integração. Assim
y=2t^2+C,t

Passo 4

Para determinar C, usamos a condição y(1)=5:
5=2cdot1^2+Ccdot1 Longrightarrow C=5-2=3
Portanto, a solução particular é
y(t)=2t^2+3t

Resposta

y(t)=2t^2+3t

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