Esboce o gráfico das elipses:
(f) 9(x+2)^{2}+4(y-3)^{2}=36

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da elipse dada pela equação. Informações fornecidas:
  • A equação é 9(x+2)^{2}+4(y-3)^{2}=36.
O objetivo é obter a forma padrão da elipse, identificar centro, eixos, vértices, focos e dar instruções claras para desenhar o esboço.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por \,36:
\frac{9(x+2)^{2}}{36}+\frac{4(y-3)^{2}}{36}=1.
Simplificando os coeficientes:
\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=1.

Passo 3

Interpretar a forma padrão. A equação está agora em
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,
onde o centro é (h,k). Comparando, o centro é (h,k)=(-2,3). Vou explicar: o termo (x+2) indica que o centro tem coordenada x=-2; o termo (y-3) indica que o centro tem coordenada y=3.

Passo 4

Identificar a e b. Os denominadores são 4 (associado a (x+2)^{2}) e 9 (associado a (y-3)^{2}). O maior denominador corresponde ao semi-eixo maior a^{2}. Então:
a^{2}=9,\quad a=3;\qquad b^{2}=4,\quad b=2.
Como a está sob o termo em y, a elipse tem eixo maior na direção vertical (ou seja, eixo maior paralelo ao eixo y).

Passo 5

Calcular os vértices e co-vértices (pontos mais próximos e mais distantes ao longo dos eixos principais).
  • Vértices (extremos do eixo maior, na vertical): (-2,\,3\pm a). Logo: (-2,\,3+3)=(-2,\,6)\quad\text{e}\quad(-2,\,3-3)=(-2,\,0).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor, na horizontal): (-2\pm b,\,3). Logo: (-2+2,\,3)=(0,\,3)\quad\text{e}\quad(-2-2,\,3)=(-4,\,3).

Passo 6

Calcular os focos. Para elipse com eixos alinhados, a relação é \,c^{2}=a^{2}-b^{2}. Então:
c^{2}=9-4=5,\qquad c=\sqrt{5}\approx 2{,}236\ldots
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em (-2,\,3\pm c), isto é:
(-2,\,3+\sqrt{5})\quad\text{e}\quad(-2,\,3-\sqrt{5}).

Passo 7

Desenho auxiliar (retângulo de construção). A elipse fica inscrita num retângulo centrado em (-2,3) com semi-largura b=2 e semi-altura a=3. Os cantos do retângulo são:
(-2\pm2,\;3\pm3),
ou explicitamente: (0,6),(-4,6),(0,0),(-4,0).
Na prática: desenhe esse retângulo e marque os vértices nos pontos médios de cada lado do retângulo; a elipse é a curva suave que toca os quatro lados do retângulo nesses pontos médios.

Passo 8

Forma paramétrica útil para esboçar (varrendo t de 0 a 2\pi):
x=-2+2\cos t,\qquad y=3+3\sin t.
Isso dá pontos ao longo da elipse de maneira simples para plotar alguns pontos e ligar com curva suave.

Passo 9

Pontos especiais e interceptos (úteis no esboço):
  • Intersecção com o eixo x (onde y=0): substituindo y=0 na equação obtém-se x=-2 (já encontramos o vértice (-2,0)). Observei isso resolvendo a equação com y=0.
  • Intersecção com o eixo y (onde x=0): substituindo x=0 obtém-se y=3 (co-vértice (0,3)). Observei isso resolvendo a equação com x=0.

Passo 10

Instrução passo a passo para esboçar (faça isso num papel quadriculado):
  1. Marque o centro em (-2,3).
  2. Trace o retângulo centrado no centro com meio-eixos b=2 horizontalmente e a=3 verticalmente; marque seus 4 cantos (0,6),(-4,6),(0,0),(-4,0).
  3. Marque os vértices (-2,6) e (-2,0) e os co-vértices (0,3), (-4,3).
  4. Marque os focos (-2,\,3\pm\sqrt{5}) um pouco acima e abaixo do centro.
  5. Desenhe uma curva suave que passe pelos vértices e pelos pontos médios dos lados do retângulo — essa é a elipse. Verifique que ela é simétrica em relação ao centro e aos eixos alinhados com as direções horizontais e verticais.

Resposta

Equação na forma padrão: \dfrac{(x+2)^{2}}{4}+\dfrac{(y-3)^{2}}{9}=1
Centro: (-2,3)
Semi-eixos: a=3 (vertical), b=2 (horizontal)
Vértices: (-2,6) e (-2,0)
Co-vértices: (0,3) e (-4,3)
Focos: (-2,\,3\pm\sqrt{5})
Forma paramétrica: x=-2+2\cos t,\; y=3+3\sin t (para 0\le t<2\pi)

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