Esboce o gráfico das elipses:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da elipse dada pela equação. Informações fornecidas:
- A equação é
O objetivo é obter a forma padrão da elipse, identificar centro, eixos, vértices, focos e dar instruções claras para desenhar o esboço.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Interpretar a forma padrão. A equação está agora em
onde o centro é
. Comparando, o centro é
. Vou explicar: o termo
indica que o centro tem coordenada
; o termo
indica que o centro tem coordenada
.
Passo 4
Identificar
e
. Os denominadores são
(associado a
) e
(associado a
). O maior denominador corresponde ao semi-eixo maior
. Então:
Como
está sob o termo em
, a elipse tem eixo maior na direção vertical (ou seja, eixo maior paralelo ao eixo
).
Passo 5
Calcular os vértices e co-vértices (pontos mais próximos e mais distantes ao longo dos eixos principais).
- Vértices (extremos do eixo maior, na vertical):
. Logo: - Co-vértices (extremos do eixo menor, na horizontal):
. Logo:
Passo 6
Calcular os focos. Para elipse com eixos alinhados, a relação é
. Então:
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em
, isto é:
Passo 7
Desenho auxiliar (retângulo de construção). A elipse fica inscrita num retângulo centrado em
com semi-largura
e semi-altura
. Os cantos do retângulo são:
ou explicitamente:
.
Na prática: desenhe esse retângulo e marque os vértices nos pontos médios de cada lado do retângulo; a elipse é a curva suave que toca os quatro lados do retângulo nesses pontos médios.
Na prática: desenhe esse retângulo e marque os vértices nos pontos médios de cada lado do retângulo; a elipse é a curva suave que toca os quatro lados do retângulo nesses pontos médios.
Passo 8
Forma paramétrica útil para esboçar (varrendo
de
a
):
Isso dá pontos ao longo da elipse de maneira simples para plotar alguns pontos e ligar com curva suave.
Passo 9
Pontos especiais e interceptos (úteis no esboço):
- Intersecção com o eixo
(onde ): substituindo na equação obtém-se (já encontramos o vértice ). Observei isso resolvendo a equação com . - Intersecção com o eixo
(onde ): substituindo obtém-se (co-vértice ). Observei isso resolvendo a equação com .
Passo 10
Instrução passo a passo para esboçar (faça isso num papel quadriculado):
- Marque o centro em
. - Trace o retângulo centrado no centro com meio-eixos
horizontalmente e verticalmente; marque seus 4 cantos . - Marque os vértices
e e os co-vértices , . - Marque os focos
um pouco acima e abaixo do centro. - Desenhe uma curva suave que passe pelos vértices e pelos pontos médios dos lados do retângulo — essa é a elipse. Verifique que ela é simétrica em relação ao centro e aos eixos alinhados com as direções horizontais e verticais.
Resposta
Equação na forma padrão:
Centro:
Semi-eixos: (vertical),
(horizontal)
Vértices: e
Co-vértices: e
Focos:
Forma paramétrica: (para
)
Centro:
Semi-eixos:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Forma paramétrica: