Esboce o gráfico das elipses:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da elipse dada pela equação
Informações fornecidas (explicitadas da própria equação):
- A equação da curva é
. - Não há mais dados extras: objetivo é desenhar/identificar a elipse e seus elementos (centro, eixos, vértices, focos, etc.).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão da elipse (para identificar facilmente centro e semi-eixos). Divido ambos os lados por
:
Simplificando cada termo:
Esta é a forma padrão
(atenção: o maior denominador corresponde ao eixo maior).
Passo 3
Identificar o centro e os
:
- Centro:
porque aparecem e . - Denominadores:
tem e tem . - O maior denominador é
, então e . - O outro é
e .
Logo: semi-eixo maior(direção vertical, porque o está com o termo em ) e semi-eixo menor (horizontal).
Passo 4
Encontrar os vértices (extremidades do eixo maior) e co-vértices (extremidades do eixo menor).
- Como o eixo maior é vertical e o centro é
, os vértices são
Portanto os vértices são
e
.
- Os co-vértices (extremidades do eixo menor) ficam em
Portanto os co-vértices são
e
.
Passo 5
Calcular as focais. Para elipse com eixo maior de comprimento
vale
Substituindo:
As focais estão ao longo do eixo maior (vertical) a partir do centro:
Aproximação numérica:
, então focos
e
.
Passo 6
Outros dados úteis para o esboço:
- Comprimento do eixo maior:
. - Comprimento do eixo menor:
. - Excentricidade:
.
Passo 7
Interseções com os eixos coordenados (para ajudar no esboço):
- Interseção com o eixo
(usar ):
Aproximações:
→
e
.
- Interseção com o eixo
(usar ):
Aproximações:
→
e
.
Passo 8
Instrução prática para desenhar (esboço manual, passo a passo):
- Desenhar um plano cartesiano com escala conveniente (por exemplo, 1 unidade = 1 quadradinho).
- Marcar o centro
. - Desenhar o segmento vertical de comprimento
centrado em : marcar e . - Desenhar o segmento horizontal de comprimento
centrado em : marcar e . - Marcar os focos em
. - Traçar uma curva suave (oval) passando pelos vértices e co-vértices, simétrica em relação aos eixos que passam pelo centro (simetria horizontal e vertical).
- Conferir que a curva passa aproximadamente pelos pontos de interseção com os eixos calculados acima.
Vai dar uma elipse alongada verticalmente, centrada em
, com altura total
e largura total
. Força aí — com esses pontos em um papel quadriculado o esboço sai rapidinho!
Resposta
Centro:
Semi-eixos:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Eixos: eixo maior
Excentricidade: