Esboce o gráfico das elipses:
(e) 16(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}=144

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da elipse dada pela equação
16(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}=144.
Informações fornecidas (explicitadas da própria equação):
  • A equação da curva é \;16(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}=144.
  • Não há mais dados extras: objetivo é desenhar/identificar a elipse e seus elementos (centro, eixos, vértices, focos, etc.).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão da elipse (para identificar facilmente centro e semi-eixos). Divido ambos os lados por 144:
\frac{16(x-1)^{2}}{144}+\frac{9(y-2)^{2}}{144}=1.
Simplificando cada termo:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{16}=1.
Esta é a forma padrão \dfrac{(x-h)^2}{b^{2}}+\dfrac{(y-k)^2}{a^{2}}=1 (atenção: o maior denominador corresponde ao eixo maior).

Passo 3

Identificar o centro e os \,a^2\,,\,b^2:
  • Centro: (h,k)=(1,2) porque aparecem (x-1) e (y-2).
  • Denominadores: (x-1)^2 tem 9 e (y-2)^2 tem 16.
  • O maior denominador é 16, então a^{2}=16 e a=\sqrt{16}=4.
  • O outro é b^{2}=9 e b=\sqrt{9}=3.
    Logo: semi-eixo maior a=4 (direção vertical, porque o a^{2} está com o termo em y) e semi-eixo menor b=3 (horizontal).

Passo 4

Encontrar os vértices (extremidades do eixo maior) e co-vértices (extremidades do eixo menor).
  • Como o eixo maior é vertical e o centro é (1,2), os vértices são
(1,\,2\pm a) = (1,\,2\pm 4).
Portanto os vértices são (1,6) e (1,-2).
  • Os co-vértices (extremidades do eixo menor) ficam em
(1\pm b,\,2) = (1\pm 3,\,2).
Portanto os co-vértices são (4,2) e (-2,2).

Passo 5

Calcular as focais. Para elipse com eixo maior de comprimento 2a vale
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Substituindo:
c^{2}=16-9=7 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{7}.
As focais estão ao longo do eixo maior (vertical) a partir do centro:
(1,\,2\pm \sqrt{7}).
Aproximação numérica: \sqrt{7}\approx 2,6458, então focos \approx(1,\,4,6458) e \approx(1,\,-0,6458).

Passo 6

Outros dados úteis para o esboço:
  • Comprimento do eixo maior: 2a=8.
  • Comprimento do eixo menor: 2b=6.
  • Excentricidade: e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx 0,661.

Passo 7

Interseções com os eixos coordenados (para ajudar no esboço):
  • Interseção com o eixo x (usar y=0):
16(x-1)^{2}+9(0-2)^{2}=144 \Rightarrow 16(x-1)^{2}+36=144
16(x-1)^{2}=108 \Rightarrow (x-1)^{2}=\tfrac{27}{4} \Rightarrow x=1\pm\tfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Aproximações: x\approx 1\pm2,598 x\approx 3,598 e x\approx -1,598.
  • Interseção com o eixo y (usar x=0):
16(0-1)^{2}+9(y-2)^{2}=144 \Rightarrow 16+9(y-2)^{2}=144
9(y-2)^{2}=128 \Rightarrow (y-2)^{2}=\tfrac{128}{9} \Rightarrow y=2\pm\tfrac{8\sqrt{2}}{3}.
Aproximações: y\approx 2\pm3,771 y\approx 5,771 e y\approx -1,771.

Passo 8

Instrução prática para desenhar (esboço manual, passo a passo):
  1. Desenhar um plano cartesiano com escala conveniente (por exemplo, 1 unidade = 1 quadradinho).
  2. Marcar o centro (1,2).
  3. Desenhar o segmento vertical de comprimento 2a=8 centrado em (1,2): marcar (1,6) e (1,-2).
  4. Desenhar o segmento horizontal de comprimento 2b=6 centrado em (1,2): marcar (4,2) e (-2,2).
  5. Marcar os focos em (1,\,2\pm\sqrt{7}).
  6. Traçar uma curva suave (oval) passando pelos vértices e co-vértices, simétrica em relação aos eixos que passam pelo centro (simetria horizontal e vertical).
  7. Conferir que a curva passa aproximadamente pelos pontos de interseção com os eixos calculados acima.
Vai dar uma elipse alongada verticalmente, centrada em (1,2), com altura total 8 e largura total 6. Força aí — com esses pontos em um papel quadriculado o esboço sai rapidinho!

Resposta

\dfrac{(x-1)^{2}}{9}+\dfrac{(y-2)^{2}}{16}=1
Centro: (1,2)
Semi-eixos: a=4 (vertical), b=3 (horizontal)
Vértices: (1,6) e (1,-2)
Co-vértices: (4,2) e (-2,2)
Focos: \bigl(1,\,2\pm\sqrt{7}\bigr) (aprox. (1,4,6458) e (1,-0,6458))
Eixos: eixo maior 2a=8, eixo menor 2b=6
Excentricidade: e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx0{,}661

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