Esboce o gráfico das elipses:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da elipse dada pela equação
Informações explícitas fornecidas:
- A equação da curva está escrita no formato de uma elipse centrada em algum ponto
. - Os denominadores são
e .
O que se pede exatamente: desenhar (esboçar) a elipse, isto é, identificar seu centro, os extremos dos eixos (vértices e co-vértices), orientação (vertical ou horizontal), e outros pontos úteis para traçar o contorno corretamente.
Passo 2
Identificar o centro e reconhecer a forma padrão da equação. A forma padrão de uma elipse deslocada é
onde
é o centro,
é a semi-distância ao longo do eixo
(se o primeiro denominador for
) e
é a semi-distância ao longo do eixo
(se o segundo denominador for
). Comparando com a equação dada:
vemos imediatamente que o centro é
Explicando: os termos
e
indicam que a elipse está deslocada para a direita de
unidade e para baixo de
unidades.
Passo 3
Determinar as semi-elonguras (semi-eixos) e a orientação (qual é o semi-eixo maior). Dos denominadores:
Comparando
e
: como
, o semi-eixo maior é vertical (na direção do eixo
). Por convenção chamamos de
o semi-eixo maior e de
o semi-eixo menor. Portanto:
Significado prático: os vértices principais ficam a
unidades acima e abaixo do centro; os co-vértices ficam a
unidades à direita e à esquerda do centro.
Passo 4
Calcular coordenadas dos vértices e co-vértices (pontos extremos dos eixos da elipse).
- Vértices (extremos do eixo maior, vertical):
- Co-vértices (extremos do eixo menor, horizontal):
Anote esses quatro pontos no papel: eles definem o “esqueleto” da elipse.
Passo 5
Desenhar o retângulo auxiliar e usar para esboçar a elipse. Método prático passo a passo para o esboço:
- Marcar o centro
. - A partir do centro, marcar os vértices
e (verticalmente) e os co-vértices e (horizontalmente). - Desenhar o retângulo com cantos em
, , , . Esse retângulo tem largura e altura . - A elipse é tangente aos lados desse retângulo nos pontos médios; com a ajuda desse retângulo trace uma curva suave unindo os vértices, formando a elipse “esticada” verticalmente.
Dica prática: faça uma curva suave que passe pelos vértices verticais e pelos co-vértices horizontais, com simetria em relação às duas retase .
Passo 6
Calcular pontos úteis adicionais (interceptos com os eixos e pontos cardeais da parametrização). Isso ajuda a colocar pontos intermediários no esboço e confirmar a forma.
- Interceptes com o eixo
( ): substituir na equação:
Valores numéricos aproximados:
e
. Esses são os pontos onde a elipse cruza a reta
.
- Interceptes com o eixo
( ): substituir :
Valores numéricos aproximados:
e
. Esses pontos ajudam a ajustar o traço entre vértices e co-vértices.
Passo 7
Calcular focos e excentricidade (opcional, mas útil para entender a geometria). Para uma elipse com semi-eixo maior
e menor
, a distância focal
satisfaz
Aqui
e
, então
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em
A excentricidade é
Esses pontos não são necessários para o esboço básico, mas são importantes geometricamente (a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante).
Passo 8
Formas paramétricas e informações finais que ajudam o traço. Uma parametrização simples da elipse é
Usando
obtém-se os co-vértices e vértices já calculados:
-
: (co-vértice direito). -
: (vértice superior). -
: (co-vértice esquerdo). -
: (vértice inferior).
Para esboçar: marque esses pontos e trace uma curva suave parametrizada entre eles.
Passo 9
Resumo prático para desenhar à mão (passos finais, incentivei a prática):
- Desenhe o sistema de eixos e marque o ponto central
. - Marque os vértices
e e os co-vértices , . - Desenhe o retângulo auxiliar com cantos
. - Trace uma curva suave dentro do retângulo que passe pelos quatro pontos extremos e seja simétrica em relação a
e . - Se quiser, confirme com alguns pontos intermediários (por ex. os interceptos calculados) para afinar o traço.
Força: com esses pontos e o retângulo fica bem rápido esboçar a elipse corretamente.
Resposta
Centro:
Semi-eixos: (vertical),
(horizontal)
Vértices: e
Co-vértices: e
Focos:
Equação paramétrica:
Semi-eixos:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Equação paramétrica: