Esboce o gráfico das elipses:
(d) \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da elipse dada pela equação
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1.
Informações explícitas fornecidas:
  • A equação da curva está escrita no formato de uma elipse centrada em algum ponto (h,k).
  • Os denominadores são 4 e 9.
    O que se pede exatamente: desenhar (esboçar) a elipse, isto é, identificar seu centro, os extremos dos eixos (vértices e co-vértices), orientação (vertical ou horizontal), e outros pontos úteis para traçar o contorno corretamente.

Passo 2

Identificar o centro e reconhecer a forma padrão da equação. A forma padrão de uma elipse deslocada é
\frac{(x-h)^2}{a_x^2}+\frac{(y-k)^2}{a_y^2}=1,
onde (h,k) é o centro, a_x é a semi-distância ao longo do eixo x (se o primeiro denominador for a_x^2) e a_y é a semi-distância ao longo do eixo y (se o segundo denominador for a_y^2). Comparando com a equação dada:
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1,
vemos imediatamente que o centro é
(h,k)=(1,-2).
Explicando: os termos (x-1) e (y+2) indicam que a elipse está deslocada para a direita de 1 unidade e para baixo de 2 unidades.

Passo 3

Determinar as semi-elonguras (semi-eixos) e a orientação (qual é o semi-eixo maior). Dos denominadores:
a_x^2=4 \quad\Rightarrow\quad a_x=2, \qquad a_y^2=9 \quad\Rightarrow\quad a_y=3.
Comparando a_x e a_y: como 3>2, o semi-eixo maior é vertical (na direção do eixo y). Por convenção chamamos de a o semi-eixo maior e de b o semi-eixo menor. Portanto:
a=3 \quad(\text{semi-eixo maior, vertical}),\qquad b=2 \quad(\text{semi-eixo menor, horizontal}).
Significado prático: os vértices principais ficam a 3 unidades acima e abaixo do centro; os co-vértices ficam a 2 unidades à direita e à esquerda do centro.

Passo 4

Calcular coordenadas dos vértices e co-vértices (pontos extremos dos eixos da elipse).
  • Vértices (extremos do eixo maior, vertical):
(1,-2+a)=(1,-2+3)=(1,1), \qquad (1,-2-a)=(1,-2-3)=(1,-5).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor, horizontal):
(1+b,-2)=(1+2,-2)=(3,-2), \qquad (1-b,-2)=(1-2,-2)=(-1,-2).
Anote esses quatro pontos no papel: eles definem o “esqueleto” da elipse.

Passo 5

Desenhar o retângulo auxiliar e usar para esboçar a elipse. Método prático passo a passo para o esboço:
  1. Marcar o centro (1,-2).
  2. A partir do centro, marcar os vértices (1,1) e (1,-5) (verticalmente) e os co-vértices (3,-2) e (-1,-2) (horizontalmente).
  3. Desenhar o retângulo com cantos em (3,1), (-1,1), (3,-5), (-1,-5). Esse retângulo tem largura 2b=4 e altura 2a=6.
  4. A elipse é tangente aos lados desse retângulo nos pontos médios; com a ajuda desse retângulo trace uma curva suave unindo os vértices, formando a elipse “esticada” verticalmente.
    Dica prática: faça uma curva suave que passe pelos vértices verticais e pelos co-vértices horizontais, com simetria em relação às duas retas x=1 e y=-2.

Passo 6

Calcular pontos úteis adicionais (interceptos com os eixos e pontos cardeais da parametrização). Isso ajuda a colocar pontos intermediários no esboço e confirmar a forma.
  • Interceptes com o eixo x ( y=0): substituir y=0 na equação:
\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(0+2)^2}{9}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{4}{9}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{(x-1)^2}{4}=\frac{5}{9}
\Rightarrow\quad (x-1)^2=\frac{20}{9} \quad\Rightarrow\quad x=1\pm\frac{\sqrt{20}}{3}=1\pm\frac{2\sqrt{5}}{3}.
Valores numéricos aproximados: x\approx 2,49 e x\approx -0,49. Esses são os pontos onde a elipse cruza a reta y=0.
  • Interceptes com o eixo y ( x=0): substituir x=0:
\frac{1}{4}+\frac{(y+2)^2}{9}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{(y+2)^2}{9}=\frac{3}{4}
\Rightarrow\quad (y+2)^2=\frac{27}{4} \quad\Rightarrow\quad y=-2\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Valores numéricos aproximados: y\approx 0,60 e y\approx -4,60. Esses pontos ajudam a ajustar o traço entre vértices e co-vértices.

Passo 7

Calcular focos e excentricidade (opcional, mas útil para entender a geometria). Para uma elipse com semi-eixo maior a e menor b, a distância focal c satisfaz
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Aqui a=3 e b=2, então
c^{2}=9-4=5 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}.
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em
(1,-2\pm\sqrt{5}).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,745.
Esses pontos não são necessários para o esboço básico, mas são importantes geometricamente (a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante).

Passo 8

Formas paramétricas e informações finais que ajudam o traço. Uma parametrização simples da elipse é
x=1+2\cos t,\qquad y=-2+3\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Usando t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2} obtém-se os co-vértices e vértices já calculados:
  • t=0: (3,-2) (co-vértice direito).
  • t=\tfrac{\pi}{2}: (1,1) (vértice superior).
  • t=\pi: (-1,-2) (co-vértice esquerdo).
  • t=\tfrac{3\pi}{2}: (1,-5) (vértice inferior).
    Para esboçar: marque esses pontos e trace uma curva suave parametrizada entre eles.

Passo 9

Resumo prático para desenhar à mão (passos finais, incentivei a prática):
  1. Desenhe o sistema de eixos e marque o ponto central (1,-2).
  2. Marque os vértices (1,1) e (1,-5) e os co-vértices (3,-2), (-1,-2).
  3. Desenhe o retângulo auxiliar com cantos (3,1),(-1,1),(3,-5),(-1,-5).
  4. Trace uma curva suave dentro do retângulo que passe pelos quatro pontos extremos e seja simétrica em relação a x=1 e y=-2.
  5. Se quiser, confirme com alguns pontos intermediários (por ex. os interceptos calculados) para afinar o traço.
    Força: com esses pontos e o retângulo fica bem rápido esboçar a elipse corretamente.

Resposta

Centro: (1,-2)
Semi-eixos: a=3 (vertical), b=2 (horizontal)
Vértices: (1,1) e (1,-5)
Co-vértices: (3,-2) e (-1,-2)
Focos: \displaystyle (1,-2\pm\sqrt{5})
Equação paramétrica: \displaystyle x=1+2\cos t,\; y=-2+3\sin t,\; t\in[0,2\pi]

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